Номер 5, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла $B$ отложены отрезки $BC = 5$ см, $CD = 4$ см, $BE = 6$ см, $EF = 8$ см (рис. 14). Найдите отношение площадей треугольника $BCE$ и четырёхугольника $CDFE$.

2. Медианы $AD$ и $BN$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AD = 9$ см, $BN = 24$ см, $\angle AFB = 135^{\circ}$.

3. Основания трапеции равны 4 см и 16 см, а диагонали — 11 см и 13 см. Найдите площадь трапеции.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Рассмотрим треугольники BCE и BDF. Они имеют общий угол B.
Найдем площадь треугольника BCE. По условию, $BC = 5$ см, $BE = 6$ см.
$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BE \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin B = 15 \sin B$.
Теперь найдем данные для треугольника BDF. Его стороны, образующие угол B, это BD и BF.
$BD = BC + CD = 5 + 4 = 9$ см.
$BF = BE + EF = 6 + 8 = 14$ см.
Площадь треугольника BDF:
$S_{BDF} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BF \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 14 \cdot \sin B = 63 \sin B$.
Площадь четырехугольника CDFE равна разности площадей треугольников BDF и BCE:
$S_{CDFE} = S_{BDF} - S_{BCE} = 63 \sin B - 15 \sin B = 48 \sin B$.
Найдем искомое отношение площадей:
$\frac{S_{BCE}}{S_{CDFE}} = \frac{15 \sin B}{48 \sin B} = \frac{15}{48}$.
Сократив дробь на 3, получаем:
$\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$.
Ответ: 5/16.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Точка F является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника ABC.
Найдем длины отрезков, на которые точка F делит медианы AD и BN:
$AF = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.
$BF = \frac{2}{3} BN = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.
$FN = \frac{1}{3} BN = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$ см.
Площадь треугольника AFB найдем по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$:
$S_{AFB} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot BF \cdot \sin(\angle AFB)$.
По условию $\angle AFB = 135^{\circ}$. Значение синуса: $\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$S_{AFB} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}$ см².
Медиана BN делит треугольник ABC на два треугольника равной площади: $S_{ABN} = S_{CBN} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.
Площадь треугольника ABN равна сумме площадей треугольников AFB и AFN: $S_{ABN} = S_{AFB} + S_{AFN}$.
Найдем площадь треугольника AFN. Углы $\angle AFB$ и $\angle AFN$ являются смежными, их сумма равна $180^{\circ}$.
$\angle AFN = 180^{\circ} - \angle AFB = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.
$S_{AFN} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot FN \cdot \sin(\angle AFN) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(45^{\circ}) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см².
Теперь найдем площадь треугольника ABN:
$S_{ABN} = S_{AFB} + S_{AFN} = 24\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см².
Площадь всего треугольника ABC в два раза больше площади треугольника ABN:
$S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABN} = 2 \cdot 36\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см².
Ответ: 72$\sqrt{2}$ см².

3. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $AD = 16$ см и $BC = 4$ см, и диагоналями $AC = 13$ см и $BD = 11$ см.
Для нахождения площади применим метод достроения. Проведем через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E.
Рассмотрим четырехугольник BCED. В нем $BC \parallel DE$ (как части оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, BCED — параллелограмм.
Из свойств параллелограмма следует, что $DE = BC = 4$ см и $CE = BD = 11$ см.
Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE. Это следует из того, что оба они состоят из общей части (треугольника ACD) и равновеликих треугольников (ABC и CDE, т.к. у них равные основания $BC=DE$ и общая высота, равная высоте трапеции).
Найдем стороны треугольника ACE:
$AC = 13$ см (по условию).
$CE = BD = 11$ см (по построению).
$AE = AD + DE = 16 + 4 = 20$ см.
Зная все три стороны треугольника, найдем его площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр.
Найдем полупериметр $s$:
$s = \frac{AE + AC + CE}{2} = \frac{20 + 13 + 11}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.
Вычислим площадь треугольника ACE:
$S_{ACE} = \sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ см².
Так как $S_{ABCD} = S_{ACE}$, то площадь трапеции равна 66 см².
Ответ: 66 см².