Номер 1, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 4

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sin 135^\circ \cos 150^\circ \operatorname{ctg} 120^\circ $

2) $ \operatorname{ctg}^2 120^\circ - 8 \cos^2 150^\circ + 2 \operatorname{tg} 0^\circ \sin 130^\circ $

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $ \frac{\sin 73^\circ}{\sin 107^\circ} + \frac{\operatorname{tg} 115^\circ}{\operatorname{tg} 65^\circ} $

2) $ \frac{\cos 24^\circ}{\sin 156^\circ} + \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ} $

3. Найдите:

1) $ \operatorname{ctg} \alpha $, если $ \cos \alpha = -\frac{1}{4} $

2) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{4} $

1) Для вычисления значения выражения $\sin 135^\circ \cos 150^\circ \operatorname{ctg} 120^\circ$ воспользуемся формулами приведения для углов в диапазоне от 0° до 180°:
$\sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\operatorname{ctg} 120^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 60^\circ) = -\operatorname{ctg} 60^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
Теперь перемножим полученные значения:
$\sin 135^\circ \cos 150^\circ \operatorname{ctg} 120^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$
Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2) Для вычисления значения выражения $\operatorname{ctg}^2 120^\circ - 8 \cos^2 150^\circ + 2 \operatorname{tg} 0^\circ \sin 130^\circ$ используем значения из предыдущего пункта, а также учтем, что $\operatorname{tg} 0^\circ = 0$:
$\operatorname{ctg}^2 120^\circ = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$
$\cos^2 150^\circ = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$
Слагаемое $2 \operatorname{tg} 0^\circ \sin 130^\circ = 2 \cdot 0 \cdot \sin 130^\circ = 0$.
Подставим значения в выражение:
$\frac{1}{3} - 8 \cdot \frac{3}{4} + 0 = \frac{1}{3} - \frac{24}{4} = \frac{1}{3} - 6 = \frac{1}{3} - \frac{18}{3} = -\frac{17}{3}$
Ответ: $-\frac{17}{3}$.

1) Упростим каждую дробь в выражении $\frac{\sin 73^\circ}{\sin 107^\circ} + \frac{\operatorname{tg} 115^\circ}{\operatorname{tg} 65^\circ}$ с помощью формул приведения:
В знаменателе первой дроби: $\sin 107^\circ = \sin(180^\circ - 73^\circ) = \sin 73^\circ$.
В числителе второй дроби: $\operatorname{tg} 115^\circ = \operatorname{tg}(180^\circ - 65^\circ) = -\operatorname{tg} 65^\circ$.
Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
$\frac{\sin 73^\circ}{\sin 73^\circ} + \frac{-\operatorname{tg} 65^\circ}{\operatorname{tg} 65^\circ} = 1 + (-1) = 0$.
Ответ: $0$.

2) В выражении $\frac{\cos 24^\circ}{\sin 156^\circ} + \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ}$ сначала упростим второе слагаемое:
$\operatorname{ctg} 169^\circ = \operatorname{ctg}(180^\circ - 11^\circ) = -\operatorname{ctg} 11^\circ$.
Следовательно, $\frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ} = \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{-\operatorname{ctg} 11^\circ} = -1$.
Теперь рассмотрим первое слагаемое: $\frac{\cos 24^\circ}{\sin 156^\circ}$. Используя формулу приведения, получаем $\sin 156^\circ = \sin(180^\circ - 24^\circ) = \sin 24^\circ$.
Тогда первое слагаемое равно $\frac{\cos 24^\circ}{\sin 24^\circ} = \operatorname{ctg} 24^\circ$. Это значение невозможно вычислить без калькулятора.
Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что в числителе первого слагаемого должен стоять $\sin 24^\circ$, то решение будет следующим:
$\frac{\sin 24^\circ}{\sin 156^\circ} + \frac{\operatorname{ctg} 11^\circ}{\operatorname{ctg} 169^\circ} = \frac{\sin 24^\circ}{\sin(180^\circ - 24^\circ)} - 1 = \frac{\sin 24^\circ}{\sin 24^\circ} - 1 = 1 - 1 = 0$.
Ответ: $0$ (при предположении об опечатке в условии, где числитель первой дроби должен быть $\sin 24^\circ$).

1) Дано $\cos \alpha = -\frac{1}{4}$. Угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Так как $\cos \alpha < 0$, угол $\alpha$ находится во второй четверти ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). В этой четверти $\sin \alpha > 0$.
Найдем $\sin \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
Так как $\sin \alpha > 0$, то $\sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
Теперь найдем котангенс по формуле $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$:
$\operatorname{ctg}\alpha = \frac{-1/4}{\sqrt{15}/4} = -\frac{1}{\sqrt{15}} = -\frac{\sqrt{15}}{15}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

2) Дано $\sin \alpha = \frac{3}{4}$. Угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$.
Так как $\sin \alpha > 0$, угол $\alpha$ может находиться как в первой ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), так и во второй ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$) четверти.
В первом случае $\cos \alpha$ будет положительным, а во втором — отрицательным.
Найдем $\cos \alpha$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$.
Отсюда $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{7}{16}} = \pm\frac{\sqrt{7}}{4}$.
Оба значения возможны.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{7}}{4}$.