Номер 21, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $M(x; -3)$ и $B(2; y)$ симметричны относительно точки $C(3; -2)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x + 2y = 4$ относительно точки $M(4; -2)$.

3. Даны угол, прямая и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит стороне данного угла, а другой — данной прямой.

1.

Если точки $M(x_M; y_M)$ и $B(x_B; y_B)$ симметричны относительно точки $C(x_C; y_C)$, то точка $C$ является серединой отрезка $MB$. Координаты середины отрезка находятся по формулам:

$x_C = \frac{x_M + x_B}{2}$

$y_C = \frac{y_M + y_B}{2}$

Подставим координаты данных точек $M(x; -3)$, $B(2; y)$ и $C(3; -2)$ в эти формулы.

Для координаты $x$:

$3 = \frac{x + 2}{2}$

$6 = x + 2$

$x = 4$

Для координаты $y$:

$-2 = \frac{-3 + y}{2}$

$-4 = -3 + y$

$y = -1$

Ответ: $x = 4, y = -1$.

2.

Пусть искомая прямая $l'$ симметрична данной прямой $l: 3x + 2y = 4$ относительно точки $M(4; -2)$. При центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую. Следовательно, уравнение искомой прямой $l'$ будет иметь вид $3x + 2y = C$ для некоторой константы $C$.

Воспользуемся формулами центральной симметрии. Пусть произвольная точка $A(x; y)$ принадлежит прямой $l$, а точка $A'(x'; y')$, симметричная ей относительно $M(4; -2)$, принадлежит искомой прямой $l'$. Координаты этих точек связаны соотношениями:

$x_M = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow 4 = \frac{x + x'}{2} \Rightarrow x = 8 - x'$

$y_M = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow -2 = \frac{y + y'}{2} \Rightarrow y = -4 - y'$

Подставим выражения для $x$ и $y$ в уравнение исходной прямой $l$:

$3(8 - x') + 2(-4 - y') = 4$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$24 - 3x' - 8 - 2y' = 4$

$16 - 3x' - 2y' = 4$

$-3x' - 2y' = 4 - 16$

$-3x' - 2y' = -12$

Умножим обе части уравнения на $-1$:

$3x' + 2y' = 12$

Это уравнение для точек $(x'; y')$ на симметричной прямой. Заменив $x'$ на $x$ и $y'$ на $y$, получим уравнение искомой прямой.

Ответ: $3x + 2y = 12$.

3.

Пусть даны угол со сторонами $r_1$ и $r_2$, прямая $l$ и точка $P$. Искомый отрезок обозначим $XY$, где $P$ — его середина, точка $X$ лежит на одной из сторон угла, а точка $Y$ — на прямой $l$.

Метод построения.

Построение основано на свойстве центральной симметрии. Если точка $P$ является серединой отрезка $XY$, то точки $X$ и $Y$ симметричны относительно центра $P$.

Поскольку точка $Y$ лежит на прямой $l$, то симметричная ей точка $X$ должна лежать на прямой $l'$, которая является образом прямой $l$ при симметрии относительно точки $P$. В то же время, по условию, точка $X$ должна лежать на одной из сторон угла ($r_1$ или $r_2$). Таким образом, точка $X$ является точкой пересечения прямой $l'$ со стороной угла.

Алгоритм построения:

1. Построить прямую $l'$, симметричную данной прямой $l$ относительно точки $P$. Для этого:

а) Выбрать на прямой $l$ любую точку $A$.

б) Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно $P$.

в) Через точку $A'$ провести прямую $l'$, параллельную прямой $l$. Это и будет искомый образ.

2. Найти точки пересечения прямой $l'$ со сторонами угла $r_1$ и $r_2$. Обозначим эти точки $X_1$ (на $r_1$) и $X_2$ (на $r_2$), если они существуют.

3. Если точка пересечения $X_1$ найдена, то она является одним концом искомого отрезка. Чтобы найти второй конец $Y_1$, нужно построить точку, симметричную $X_1$ относительно $P$. Для этого соединяем $X_1$ и $P$ прямой и на ее продолжении за точку $P$ откладываем отрезок $PY_1 = PX_1$. Точка $Y_1$ по построению будет лежать на исходной прямой $l$. Отрезок $X_1Y_1$ — одно из решений задачи.

4. Аналогично, если найдена точка $X_2$, строится отрезок $X_2Y_2$, который является вторым решением.

В зависимости от взаимного расположения фигур задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Алгоритм построения заключается в том, чтобы построить образ $l'$ данной прямой относительно данной точки, найти точки пересечения $X$ этого образа со сторонами данного угла, а затем для каждой найденной точки $X$ построить симметричную ей точку $Y$ относительно данной точки. Отрезок $XY$ будет искомым.