Номер 17, страница 30 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$. При каких значениях $y$ угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$. Найдите $|\vec{a} + 4\vec{b}|$.

3. На стороне $BC$ квадрата $ABCD$ отметили точку $F$ так, что $BF : FC = 2 : 3$. Найдите косинус угла между прямыми $DF$ и $AC$.

1.

Угол между двумя ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Угол является острым, если скалярное произведение положительно, прямым — если оно равно нулю, и тупым — если оно отрицательно.

Для данных векторов $\vec{a}(4; -7)$ и $\vec{b}(3; y)$ найдем их скалярное произведение:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 3 + (-7) \cdot y = 12 - 7y$.

Теперь рассмотрим каждый случай.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение больше нуля:

$\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$

$12 - 7y > 0$

$12 > 7y$

$y < \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{12}{7})$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю (векторы ортогональны):

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$12 - 7y = 0$

$7y = 12$

$y = \frac{12}{7}$

Ответ: $y = \frac{12}{7}$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение меньше нуля:

$\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$

$12 - 7y < 0$

$12 < 7y$

$y > \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in (\frac{12}{7}; +\infty)$.

2.

Чтобы найти модуль вектора $|\vec{a} + 4\vec{b}|$, воспользуемся свойством скалярного произведения: $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$.

$|\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4\vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(\vec{a} + 4\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 4\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot (\vec{a} \cdot 4\vec{b}) + (4\vec{b}) \cdot (4\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 16|\vec{b}|^2$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равно:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим известные значения: $|\vec{a}| = 5$, $|\vec{b}| = 4$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 45^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 \cdot \cos(45^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$.

Теперь подставим все значения в выражение для квадрата модуля:

$|\vec{a} + 4\vec{b}|^2 = 5^2 + 8(10\sqrt{2}) + 16 \cdot 4^2 = 25 + 80\sqrt{2} + 16 \cdot 16 = 25 + 80\sqrt{2} + 256 = 281 + 80\sqrt{2}$.

Тогда модуль вектора равен:

$|\vec{a} + 4\vec{b}| = \sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$.

Ответ: $\sqrt{281 + 80\sqrt{2}}$.

3.

Для нахождения косинуса угла между прямыми DF и AC введем систему координат. Поместим вершину A квадрата ABCD в начало координат (0, 0). Пусть сторона квадрата равна 5 (это удобно, так как $BF:FC = 2:3$, а $2+3=5$).

Тогда координаты вершин квадрата будут:

A(0; 0), B(5; 0), C(5; 5), D(0; 5).

Точка F лежит на стороне BC. Так как $BF:FC = 2:3$, то длина отрезка $BF$ составляет $\frac{2}{5}$ от длины стороны BC. Длина BC равна 5, значит, $BF = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$.

Координаты точки F будут (5; 2).

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым DF и AC.

Вектор $\vec{DF}$ имеет координаты: $\vec{DF} = \{x_F - x_D; y_F - y_D\} = \{5 - 0; 2 - 5\} = \{5; -3\}$.

Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = \{x_C - x_A; y_C - y_A\} = \{5 - 0; 5 - 0\} = \{5; 5\}$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{DF}$ и $\vec{AC}$ находится по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{DF} \cdot \vec{AC}}{|\vec{DF}| \cdot |\vec{AC}|}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{DF} \cdot \vec{AC} = 5 \cdot 5 + (-3) \cdot 5 = 25 - 15 = 10$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{DF}| = \sqrt{5^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.

$|\vec{AC}| = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos(\alpha) = \frac{10}{\sqrt{34} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{34} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{68}} = \frac{2}{\sqrt{4 \cdot 17}} = \frac{2}{2\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}}$.

Так как косинус получился положительным, угол между векторами острый, и он совпадает с углом между прямыми. Рационализируем знаменатель:

$\frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{1 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{17}}{17}$.