Номер 12, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками А и В равно 3. Найдите геометрическое место точек Х таких, что $XA^2 - XB^2 = 5$.

2. Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника АВС равны 24 см и 32 см соответственно. На медиане СМ отметили точку Е так, что $CE : EM = 3 : 1$. Найдите расстояние от точки Е до середины катета АС.

3. Расстояние между точками А и В равно 4 см. Найдите геометрическое место точек С таких, что медиана АМ треугольника АВС равна 6 см.

1.

Введем систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат, а точка $B$ лежит на оси Ox. Тогда их координаты будут $A(0; 0)$ и $B(3; 0)$, так как расстояние между ними равно 3.

Пусть искомая точка $X$ имеет координаты $(x; y)$.

Квадрат расстояния от точки $X$ до точки $A$ равен:

$XA^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$

Квадрат расстояния от точки $X$ до точки $B$ равен:

$XB^2 = (x-3)^2 + (y-0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

Подставим эти выражения в заданное условие $XA^2 - XB^2 = 5$:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 5$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + y^2 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 5$

$6x - 9 = 5$

$6x = 14$

$x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

Уравнение $x = \frac{7}{3}$ задает прямую, параллельную оси Oy и проходящую через точку $(\frac{7}{3}; 0)$. Эта прямая перпендикулярна отрезку $AB$, который лежит на оси Ox.

Ответ: Геометрическое место точек $X$ — это прямая, перпендикулярная отрезку $AB$ и проходящая через точку $P$ на этом отрезке, такую, что расстояние $AP = \frac{7}{3}$.

2.

Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в систему координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпадала с началом координат, катет $AC$ лежал на оси Oy, а катет $BC$ — на оси Ox.

Тогда координаты вершин треугольника будут:

$C(0; 0)$

$A(0; 24)$, так как $AC = 24$ см.

$B(32; 0)$, так как $BC = 32$ см.

$CM$ — медиана, значит, $M$ — середина гипотенузы $AB$. Найдем координаты точки $M$ по формуле середины отрезка:

$x_M = \frac{0+32}{2} = 16$

$y_M = \frac{24+0}{2} = 12$

Таким образом, $M(16; 12)$.

Точка $E$ лежит на медиане $CM$ и делит ее в отношении $CE : EM = 3 : 1$, считая от вершины $C$. Найдем координаты точки $E$ по формуле деления отрезка в данном отношении. Так как $C(0;0)$, то координаты $E$ будут составлять $\frac{3}{3+1} = \frac{3}{4}$ от координат точки $M$.

$x_E = \frac{3}{4} x_M = \frac{3}{4} \cdot 16 = 12$

$y_E = \frac{3}{4} y_M = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9$

Итак, точка $E$ имеет координаты $(12; 9)$.

Теперь найдем координаты середины катета $AC$. Обозначим эту точку $K$.

$K$ — середина отрезка $AC$ с концами $A(0; 24)$ и $C(0; 0)$.

$x_K = \frac{0+0}{2} = 0$

$y_K = \frac{24+0}{2} = 12$

Итак, точка $K$ имеет координаты $(0; 12)$.

Наконец, найдем расстояние между точками $E(12; 9)$ и $K(0; 12)$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_E-x_K)^2 + (y_E-y_K)^2} = \sqrt{(12-0)^2 + (9-12)^2} = \sqrt{12^2 + (-3)^2} = \sqrt{144 + 9} = \sqrt{153}$

Упростим корень: $\sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17}$.

Ответ: Расстояние от точки $E$ до середины катета $AC$ равно $3\sqrt{17}$ см.

3.

Введем систему координат. Поместим точку $A$ в начало координат, а точку $B$ на ось Ox. Так как расстояние между ними равно 4 см, их координаты будут $A(0; 0)$ и $B(4; 0)$.

Пусть точка $C$ имеет произвольные координаты $(x; y)$.

Медиана $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой стороны $BC$. Найдем координаты точки $M$ — середины отрезка $BC$:

$x_M = \frac{x_B+x_C}{2} = \frac{4+x}{2}$

$y_M = \frac{y_B+y_C}{2} = \frac{0+y}{2} = \frac{y}{2}$

Таким образом, $M\left(\frac{x+4}{2}; \frac{y}{2}\right)$.

По условию, длина медианы $AM$ равна 6 см. Запишем квадрат длины отрезка $AM$:

$AM^2 = (x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2 = 6^2 = 36$

Подставим координаты точек $A$ и $M$:

$\left(\frac{x+4}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{y}{2} - 0\right)^2 = 36$

$\frac{(x+4)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 36$

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x+4)^2 + y^2 = 144$

$(x+4)^2 + y^2 = 12^2$

Это уравнение окружности вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

В нашем случае центр окружности находится в точке с координатами $(-4; 0)$, а радиус равен 12.

Центр окружности, точка $O'(-4; 0)$, лежит на прямой, проходящей через точки $A(0; 0)$ и $B(4; 0)$. При этом точка $A$ является серединой отрезка, соединяющего центр окружности $O'$ и точку $B$.

Ответ: Геометрическое место точек $C$ — это окружность с центром в точке $O'$, лежащей на прямой $AB$ на расстоянии 4 от точки $A$ в сторону, противоположную точке $B$, и радиусом 12 см.