Номер 8, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек

$A (-4; 1)$ и $B (2; -5)$.

2. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $A (-5; 3)$,

$C (6; -4)$, $D (-4; 6)$. Найдите длину диагонали $BD$.

3. Точки $A (-3; 8)$, $B (8; 4)$ и $C (2; -4)$ — вершины

треугольника $ABC$. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла $ACB$ со стороной $AB$.

1.

Пусть искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $M(x; 0)$, так как у любой точки на оси абсцисс ордината равна нулю. Расстояние между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. По условию, точка M равноудалена от точек $A(-4; 1)$ и $B(2; -5)$, это означает, что расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$, то есть $MA = MB$. Для удобства вычислений будем использовать равенство квадратов расстояний: $MA^2 = MB^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$ между точками $M(x; 0)$ и $A(-4; 1)$:
$MA^2 = (x - (-4))^2 + (0 - 1)^2 = (x + 4)^2 + (-1)^2 = x^2 + 8x + 16 + 1 = x^2 + 8x + 17$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$ между точками $M(x; 0)$ и $B(2; -5)$:
$MB^2 = (x - 2)^2 + (0 - (-5))^2 = (x - 2)^2 + 5^2 = x^2 - 4x + 4 + 25 = x^2 - 4x + 29$.

Теперь приравняем полученные выражения для $MA^2$ и $MB^2$ и решим уравнение относительно $x$:
$x^2 + 8x + 17 = x^2 - 4x + 29$
$8x + 17 = -4x + 29$
$8x + 4x = 29 - 17$
$12x = 12$
$x = 1$

Таким образом, искомая точка на оси абсцисс имеет координаты $(1; 0)$.

Ответ: $(1; 0)$

2.

В параллелограмме диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. Точка $O$ является серединой отрезка $AC$ и одновременно серединой отрезка $BD$.

Сначала найдем координаты точки $O$ как середины диагонали $AC$, используя формулу координат середины отрезка $(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.
Даны координаты точек $A(-5; 3)$ и $C(6; -4)$.
$x_O = \frac{-5 + 6}{2} = \frac{1}{2}$
$y_O = \frac{3 + (-4)}{2} = -\frac{1}{2}$
Следовательно, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$.

Так как $O$ также является серединой диагонали $BD$, мы можем найти координаты вершины $B(x_B; y_B)$, зная координаты точек $O(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2})$ и $D(-4; 6)$.
$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{x_B + (-4)}{2} \Rightarrow 1 = x_B - 4 \Rightarrow x_B = 5$.
$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \Rightarrow -\frac{1}{2} = \frac{y_B + 6}{2} \Rightarrow -1 = y_B + 6 \Rightarrow y_B = -7$.
Таким образом, координаты вершины $B$ — это $(5; -7)$.

Теперь, зная координаты обеих вершин диагонали $B(5; -7)$ и $D(-4; 6)$, найдем ее длину по формуле расстояния между двумя точками.
$BD = \sqrt{(-4 - 5)^2 + (6 - (-7))^2} = \sqrt{(-9)^2 + (13)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$.

Ответ: $5\sqrt{10}$

3.

Пусть $CK$ — биссектриса угла $ACB$, где точка $K$ — это точка пересечения биссектрисы со стороной $AB$. Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае это означает: $\frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC}$.

Сначала вычислим длины сторон $AC$ и $BC$, используя формулу расстояния между точками. Даны координаты вершин: $A(-3; 8)$, $B(8; 4)$, $C(2; -4)$.
$AC = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-4 - 8)^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
$BC = \sqrt{(2 - 8)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Таким образом, точка $K$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda = \frac{AK}{KB} = \frac{AC}{BC} = \frac{13}{10}$. Координаты точки $K(x_K; y_K)$, которая делит отрезок с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ в отношении $\lambda = \frac{m}{n}$ (где $m=13, n=10$), находятся по формулам деления отрезка в данном отношении:
$x_K = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$
$y_K = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

Подставим в формулы координаты точек $A(-3; 8)$, $B(8; 4)$ и значения $m=13$, $n=10$:
$x_K = \frac{10 \cdot (-3) + 13 \cdot 8}{13+10} = \frac{-30 + 104}{23} = \frac{74}{23}$.
$y_K = \frac{10 \cdot 8 + 13 \cdot 4}{13+10} = \frac{80 + 52}{23} = \frac{132}{23}$.
Следовательно, искомые координаты точки пересечения биссектрисы со стороной $AB$ равны $(\frac{74}{23}; \frac{132}{23})$.

Ответ: $(\frac{74}{23}; \frac{132}{23})$