Номер 3, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 9 $\angle BAC = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle B = \alpha$, $\angle DAC = \beta$, $\angle DCA = \varphi$. Найдите отрезок $DC$.

Рис. 9

2. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3} : 1$.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 13. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если диагональ трапеции равна 12 см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, поскольку по условию $\angle BAC = 90^\circ$. В этом треугольнике сторона $AC$ является катетом, противолежащим углу $\angle B = \alpha$, а $BC = a$ — гипотенузой. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}$, или $\sin(\alpha) = \frac{AC}{a}$. Отсюда выразим длину стороны $AC$: $AC = a \cdot \sin(\alpha)$. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон: $\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$. Нам известны углы $\angle DAC = \beta$ и $\angle DCA = \varphi$. Третий угол треугольника, $\angle ADC$, можно найти из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle DCA) = 180^\circ - (\beta + \varphi)$. Подставим известные значения в формулу теоремы синусов: $\frac{DC}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(180^\circ - (\beta + \varphi))}$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем: $\frac{DC}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(\beta + \varphi)}$. Выразим искомую сторону $DC$: $DC = \frac{AC \cdot \sin(\beta)}{\sin(\beta + \varphi)}$. Наконец, подставим найденное ранее выражение для $AC = a \cdot \sin(\alpha)$: $DC = \frac{(a \cdot \sin(\alpha)) \cdot \sin(\beta)}{\sin(\beta + \varphi)}$.
Ответ: $DC = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\beta + \varphi)}$.

2. Пусть стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, а третья сторона — $c$. Пусть $R$ — радиус описанной около этого треугольника окружности, а $C$ — угол, противолежащий стороне $c$. По условию, $\frac{c}{R} = \frac{\sqrt{3}}{1}$, откуда $c = R\sqrt{3}$. Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение: $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Выразим из этого соотношения $\sin C$: $\sin C = \frac{c}{2R}$. Подставим в эту формулу выражение для $c$ из условия задачи: $\sin C = \frac{R\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ этому значению синуса соответствуют два угла: $C_1 = 60^\circ$ и $C_2 = 120^\circ$. Теперь найдем возможные значения стороны $c$, применив теорему косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ для каждого из двух случаев. Случай 1: $C = 60^\circ$. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 36 - 30 = 31$. $c_1 = \sqrt{31}$ см. Случай 2: $C = 120^\circ$. $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. $c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 25 + 36 + 30 = 91$. $c_2 = \sqrt{91}$ см. Оба найденных значения являются решениями задачи.
Ответ: $\sqrt{31}$ см или $\sqrt{91}$ см.

3. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Диагональ $AC = 12$ см является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Пусть $\angle CAB = \angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle DAB = 2\alpha$. Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны, то есть $\angle BCA = \alpha$. В треугольнике $ABC$ два угла равны: $\angle CAB = \angle BCA = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$. Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Таким образом, получаем, что $AB = BC = CD$. Из условия известно, что основания относятся как $5:13$. Обозначим $BC = 5x$, тогда $AD = 13x$. Из равенства $AB=BC$ следует, что боковые стороны $AB = CD = 5x$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание вычисляется как полуразность оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 5x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По определению косинуса, $\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$. Радиус $R$ окружности, описанной около равнобокой трапеции, равен радиусу окружности, описанной около любого треугольника, образованного ее вершинами, например, треугольника $ACD$. По следствию из теоремы синусов для треугольника $ACD$: $R = \frac{AC}{2\sin(\angle D)}$. Найдем $\sin(\angle D)$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2(\angle D) + \cos^2(\angle D) = 1$. Поскольку $\cos(\angle D) = 4/5 > 0$, угол $\angle D$ является острым, и его синус положителен. $\sin(\angle D) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle D)} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Теперь, зная $AC = 12$ см и $\sin(\angle D) = 3/5$, можем найти радиус: $R = \frac{12}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{12}{\frac{6}{5}} = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$ см.
Ответ: 10 см.