Страница 24 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Вариант 3

Самостоятельная работа № 1

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла от 0° до 180°

1. Найдите значение выражения:

1) $ \sin150^\circ \cos135^\circ \operatorname{tg}120^\circ; $

2) $ \operatorname{ctg}^2 150^\circ - 2\sin^2 135^\circ + 6\sin 0^\circ \operatorname{tg}179^\circ. $

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) $ \frac{\cos11^\circ}{\cos169^\circ} - \frac{\sin112^\circ}{\sin68^\circ}; $

2) $ \frac{\operatorname{tg}133^\circ}{\operatorname{tg}47^\circ} - \frac{\operatorname{ctg}152^\circ}{\operatorname{ctg}28^\circ}. $

3. Найдите:

1) $ \operatorname{tg}\alpha $, если $ \cos\alpha = \frac{1}{7}; $

2) $ \cos\alpha $, если $ \sin\alpha = \frac{3}{8}. $

1. Найдите значение выражения:

1) Для нахождения значения выражения $sin150° \cdot cos135° \cdot tg120°$ воспользуемся формулами приведения, чтобы привести углы к первой четверти:
$sin150° = sin(180° - 30°) = sin30° = \frac{1}{2}$
$cos135° = cos(180° - 45°) = -cos45° = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$tg120° = tg(180° - 60°) = -tg60° = -\sqrt{3}$
Теперь перемножим полученные значения:
$sin150° \cdot cos135° \cdot tg120° = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

2) Для нахождения значения выражения $ctg^2 150° - 2sin^2 135° + 6sin0° \cdot tg179°$ найдем значение каждого слагаемого:
$ctg150° = ctg(180° - 30°) = -ctg30° = -\sqrt{3}$, следовательно, $ctg^2 150° = (-\sqrt{3})^2 = 3$.
$sin135° = sin(180° - 45°) = sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, следовательно, $2sin^2 135° = 2 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1$.
$sin0° = 0$, следовательно, $6sin0° \cdot tg179° = 6 \cdot 0 \cdot tg179° = 0$.
Подставим значения в исходное выражение:
$3 - 1 + 0 = 2$.
Ответ: $2$.

2. Найдите значение выражения, не пользуясь калькулятором:

1) Упростим выражение $\frac{cos11°}{cos169°} - \frac{sin112°}{sin68°}$ с помощью формул приведения:
Для первой дроби: $cos169° = cos(180° - 11°) = -cos11°$.
Для второй дроби: $sin112° = sin(180° - 68°) = sin68°$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{cos11°}{-cos11°} - \frac{sin68°}{sin68°} = -1 - 1 = -2$.
Ответ: $-2$.

2) Упростим выражение $\frac{tg133°}{tg47°} - \frac{ctg152°}{ctg28°}$ с помощью формул приведения:
Для первой дроби: $tg133° = tg(180° - 47°) = -tg47°$.
Для второй дроби: $ctg152° = ctg(180° - 28°) = -ctg28°$.
Подставим эти значения в выражение:
$\frac{-tg47°}{tg47°} - \frac{-ctg28°}{ctg28°} = -1 - (-1) = -1 + 1 = 0$.
Ответ: $0$.

3. Найдите:

1) Чтобы найти $tg \alpha$, если $cos \alpha = \frac{1}{7}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0°$ до $180°$, а его косинус положителен ($cos \alpha > 0$), угол $\alpha$ принадлежит первой четверти ($0° < \alpha < 90°$). В первой четверти синус и тангенс также положительны.
Найдем синус угла $\alpha$:
$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$.
$sin \alpha = \sqrt{\frac{48}{49}} = \frac{\sqrt{16 \cdot 3}}{7} = \frac{4\sqrt{3}}{7}$.
Теперь найдем тангенс по формуле $tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha}$:
$tg \alpha = \frac{4\sqrt{3}/7}{1/7} = 4\sqrt{3}$.
Ответ: $4\sqrt{3}$.

2) Чтобы найти $cos \alpha$, если $sin \alpha = \frac{3}{8}$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$. Поскольку угол $\alpha$ находится в диапазоне от $0°$ до $180°$, а его синус положителен ($sin \alpha > 0$), угол $\alpha$ может принадлежать как первой ($0° < \alpha < 90°$), так и второй ($90° < \alpha < 180°$) четверти. В первом случае косинус будет положительным, а во втором — отрицательным. Поэтому задача имеет два возможных решения.
Найдем квадрат косинуса:
$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64 - 9}{64} = \frac{55}{64}$.
Извлечем квадратный корень, учитывая оба возможных знака:
$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{55}{64}} = \pm\frac{\sqrt{55}}{8}$.
Ответ: $\pm\frac{\sqrt{55}}{8}$.

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как 7 : 8, а угол между ними составляет 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 84 см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=CD=13$ см, $BC=11$ см, $AD=21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть две стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. По условию, $a:b = 7:8$, поэтому можно обозначить их длины как $a = 7x$ и $b = 8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Угол между этими сторонами равен $\gamma = 120^\circ$.

Найдем третью сторону $c$ с помощью теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Подставим известные значения: $c^2 = (7x)^2 + (8x)^2 - 2(7x)(8x)\cos(120^\circ)$.

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получим: $c^2 = 49x^2 + 64x^2 - 112x^2(-1/2) = 113x^2 + 56x^2 = 169x^2$. Отсюда $c = \sqrt{169x^2} = 13x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Периметр треугольника равен $P = a + b + c = 84$ см. Подставим выражения для сторон через $x$: $7x + 8x + 13x = 84$. $28x = 84$. $x = 84 / 28 = 3$.

Теперь найдем длины сторон треугольника: $a = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см. $b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см. $c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 21 см, 24 см и 39 см.

Поскольку вокруг четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Для вписанного четырёхугольника сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Пусть $\angle DAB = \alpha$, тогда $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$. Из этого следует, что $\cos(\angle BCD) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов для стороны $BD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$. Подставим известные значения: $AB = 13$ см, $AD = 21$ см. $BD^2 = 13^2 + 21^2 - 2 \cdot 13 \cdot 21 \cdot \cos\alpha = 169 + 441 - 546 \cos\alpha = 610 - 546 \cos\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По теореме косинусов для стороны $BD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$. Подставим известные значения: $BC = 11$ см, $CD = 13$ см. $BD^2 = 11^2 + 13^2 - 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot (-\cos\alpha) = 121 + 169 + 286 \cos\alpha = 290 + 286 \cos\alpha$.

Приравняем два полученных выражения для $BD^2$: $610 - 546 \cos\alpha = 290 + 286 \cos\alpha$. $610 - 290 = 546 \cos\alpha + 286 \cos\alpha$. $320 = 832 \cos\alpha$. $\cos\alpha = \frac{320}{832} = \frac{5}{13}$.

Подставим найденное значение $\cos\alpha$ в любое из выражений для $BD^2$. Например, во второе: $BD^2 = 290 + 286 \cdot \frac{5}{13} = 290 + 22 \cdot 5 = 290 + 110 = 400$. $BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: диагональ $BD$ равна 20 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = 10$ см — основание, а $AB = BC = x$ — боковые стороны. Проведена медиана $AM$ к боковой стороне $BC$, и её длина $AM = 8$ см. Так как $AM$ — медиана, то точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $MC = BM = \frac{x}{2}$.

Пусть $\angle C = \gamma$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, поэтому $\angle A = \angle C = \gamma$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ для нахождения связи между $x$ и $\cos\gamma$. Рассматриваем сторону $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos\gamma$. $x^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \cos\gamma$. $0 = 100 - 20x \cos\gamma$. $20x \cos\gamma = 100$. $x \cos\gamma = 5$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AMC$. Стороны этого треугольника: $AM = 8$ см, $AC = 10$ см, $MC = \frac{x}{2}$. $AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos\gamma$. $8^2 = 10^2 + (\frac{x}{2})^2 - 2 \cdot 10 \cdot \frac{x}{2} \cdot \cos\gamma$. $64 = 100 + \frac{x^2}{4} - 10(x \cos\gamma)$.

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение $x \cos\gamma = 5$: $64 = 100 + \frac{x^2}{4} - 10 \cdot 5$. $64 = 100 + \frac{x^2}{4} - 50$. $64 = 50 + \frac{x^2}{4}$. $14 = \frac{x^2}{4}$. $x^2 = 14 \cdot 4 = 56$. $x = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ см.

Ответ: боковая сторона треугольника равна $2\sqrt{14}$ см.

Самостоятельная работа № 3

Теорема синусов

1. На рисунке 9 $\angle BAC = 90^\circ$, $BC = a$, $\angle B = \alpha$, $\angle DAC = \beta$, $\angle DCA = \varphi$. Найдите отрезок $DC$.

Рис. 9

2. Две стороны треугольника равны 5 см и 6 см. Найдите третью сторону треугольника, если она относится к радиусу описанной окружности как $\sqrt{3} : 1$.

3. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 5 : 13. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции, если диагональ трапеции равна 12 см.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, поскольку по условию $\angle BAC = 90^\circ$. В этом треугольнике сторона $AC$ является катетом, противолежащим углу $\angle B = \alpha$, а $BC = a$ — гипотенузой. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике имеем: $\sin(\angle B) = \frac{AC}{BC}$, или $\sin(\alpha) = \frac{AC}{a}$. Отсюда выразим длину стороны $AC$: $AC = a \cdot \sin(\alpha)$. Теперь рассмотрим треугольник $ADC$. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла постоянно для всех сторон: $\frac{DC}{\sin(\angle DAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$. Нам известны углы $\angle DAC = \beta$ и $\angle DCA = \varphi$. Третий угол треугольника, $\angle ADC$, можно найти из условия, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle DAC + \angle DCA) = 180^\circ - (\beta + \varphi)$. Подставим известные значения в формулу теоремы синусов: $\frac{DC}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(180^\circ - (\beta + \varphi))}$. Используя формулу приведения $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$, получаем: $\frac{DC}{\sin(\beta)} = \frac{AC}{\sin(\beta + \varphi)}$. Выразим искомую сторону $DC$: $DC = \frac{AC \cdot \sin(\beta)}{\sin(\beta + \varphi)}$. Наконец, подставим найденное ранее выражение для $AC = a \cdot \sin(\alpha)$: $DC = \frac{(a \cdot \sin(\alpha)) \cdot \sin(\beta)}{\sin(\beta + \varphi)}$.
Ответ: $DC = \frac{a \sin(\alpha) \sin(\beta)}{\sin(\beta + \varphi)}$.

2. Пусть стороны треугольника равны $a = 5$ см, $b = 6$ см, а третья сторона — $c$. Пусть $R$ — радиус описанной около этого треугольника окружности, а $C$ — угол, противолежащий стороне $c$. По условию, $\frac{c}{R} = \frac{\sqrt{3}}{1}$, откуда $c = R\sqrt{3}$. Согласно обобщенной теореме синусов, для любого треугольника выполняется соотношение: $\frac{c}{\sin C} = 2R$. Выразим из этого соотношения $\sin C$: $\sin C = \frac{c}{2R}$. Подставим в эту формулу выражение для $c$ из условия задачи: $\sin C = \frac{R\sqrt{3}}{2R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В интервале от $0^\circ$ до $180^\circ$ этому значению синуса соответствуют два угла: $C_1 = 60^\circ$ и $C_2 = 120^\circ$. Теперь найдем возможные значения стороны $c$, применив теорему косинусов $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ для каждого из двух случаев. Случай 1: $C = 60^\circ$. $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$. $c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 25 + 36 - 30 = 31$. $c_1 = \sqrt{31}$ см. Случай 2: $C = 120^\circ$. $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$. $c^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = 25 + 36 + 30 = 91$. $c_2 = \sqrt{91}$ см. Оба найденных значения являются решениями задачи.
Ответ: $\sqrt{31}$ см или $\sqrt{91}$ см.

3. Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$). Диагональ $AC = 12$ см является биссектрисой острого угла $\angle DAB$. Пусть $\angle CAB = \angle CAD = \alpha$. Тогда $\angle DAB = 2\alpha$. Поскольку основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны, то есть $\angle BCA = \alpha$. В треугольнике $ABC$ два угла равны: $\angle CAB = \angle BCA = \alpha$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $AB = BC$. Так как трапеция $ABCD$ равнобокая, ее боковые стороны равны: $AB = CD$. Таким образом, получаем, что $AB = BC = CD$. Из условия известно, что основания относятся как $5:13$. Обозначим $BC = 5x$, тогда $AD = 13x$. Из равенства $AB=BC$ следует, что боковые стороны $AB = CD = 5x$. Проведем высоту $CH$ из вершины $C$ на основание $AD$. В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание вычисляется как полуразность оснований: $HD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{13x - 5x}{2} = \frac{8x}{2} = 4x$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CHD$. По определению косинуса, $\cos(\angle D) = \frac{HD}{CD} = \frac{4x}{5x} = \frac{4}{5}$. Радиус $R$ окружности, описанной около равнобокой трапеции, равен радиусу окружности, описанной около любого треугольника, образованного ее вершинами, например, треугольника $ACD$. По следствию из теоремы синусов для треугольника $ACD$: $R = \frac{AC}{2\sin(\angle D)}$. Найдем $\sin(\angle D)$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2(\angle D) + \cos^2(\angle D) = 1$. Поскольку $\cos(\angle D) = 4/5 > 0$, угол $\angle D$ является острым, и его синус положителен. $\sin(\angle D) = \sqrt{1 - \cos^2(\angle D)} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$. Теперь, зная $AC = 12$ см и $\sin(\angle D) = 3/5$, можем найти радиус: $R = \frac{12}{2 \cdot \frac{3}{5}} = \frac{12}{\frac{6}{5}} = 12 \cdot \frac{5}{6} = 10$ см.
Ответ: 10 см.