Страница 22 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 7). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

2. Образом точки $A(a; -2)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ по часовой стрелке является точка $B(b; 3)$. Найдите $a$ и $b$.

3. Даны прямая, окружность и точка $A$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой. Постройте равносторонний треугольник, одна из вершин которого совпадает с точкой $A$, а две другие принадлежат данной окружности и данной прямой.

Рис. 7

Для построения образа отрезка $AB$ необходимо построить образы его конечных точек, $A$ и $B$, при заданном повороте. Пусть образами точек $A$ и $B$ будут точки $A'$ и $B'$ соответственно. Тогда отрезок $A'B'$ будет искомым образом отрезка $AB$. Построение выполняется с помощью циркуля и линейки.

Построение образа точки $A$ (точки $A'$):

1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $A$ отрезком $OA$.
2. Построим угол $\angle AOA'$, равный $60^\circ$, откладывая его от луча $OA$ против часовой стрелки. Самый простой способ построить угол $60^\circ$ — это построить равносторонний треугольник $OAA'$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OA$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AO$.
   • Точка пересечения этих дуг (в направлении против часовой стрелки от $A$) и будет искомой точкой $A'$.
3. По определению поворота, $OA' = OA$, и угол $\angle AOA' = 60^\circ$. Наше построение это гарантирует.

Построение образа точки $B$ (точки $B'$):

1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $B$ отрезком $OB$.
2. Аналогично построению точки $A'$, построим точку $B'$ так, чтобы треугольник $OBB'$ был равносторонним, и поворот от $OB$ к $OB'$ был против часовой стрелки.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OB$.
   • Проведем дугу окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BO$.
   • Точка пересечения этих дуг (в направлении против часовой стрелки от $B$) и будет искомой точкой $B'$.
3. Угол $\angle BOB'$ будет равен $60^\circ$, и $OB' = OB$.

Завершающий шаг:

1. Соединим полученные точки $A'$ и $B'$ отрезком.

Отрезок $A'B'$ является образом отрезка $AB$ при повороте на $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Ответ: Построение описано выше. Отрезок $A'B'$ является искомым образом.

Поворот точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат $(0; 0)$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке переводит ее в точку с координатами $(y; -x)$.

В нашей задаче исходная точка — это $A(a; -2)$, то есть $x = a$ и $y = -2$.

Применяя правило поворота, мы получаем координаты образа точки $A$:

$(y; -x) = (-2; -a)$

По условию, образом точки $A$ является точка $B(b; 3)$. Следовательно, мы можем приравнять координаты полученного образа и точки $B$:

$(-2; -a) = (b; 3)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} b = -2 \\ 3 = -a \end{cases}$

Из этой системы находим значения $a$ и $b$:

$b = -2$

$a = -3$

Ответ: $a = -3$, $b = -2$.

Пусть данная прямая — $l$, данная окружность — $c$ (с центром $O$ и радиусом $r$), и данная точка — $A$. Искомый треугольник — $ABC$, где $A$ — заданная вершина, $B$ лежит на окружности $c$ ($B \in c$), и $C$ лежит на прямой $l$ ($C \in l$).

Так как треугольник $ABC$ равносторонний, то все его углы равны $60^\circ$. Это означает, что вершина $C$ может быть получена из вершины $B$ поворотом вокруг вершины $A$ на угол $60^\circ$ (или $-60^\circ$).

Рассмотрим поворот $R_{A, 60^\circ}$ вокруг точки $A$ на угол $60^\circ$ (например, против часовой стрелки). При этом повороте точка $B$ переходит в точку $C$: $C = R_{A, 60^\circ}(B)$.

Поскольку точка $B$ принадлежит окружности $c$, ее образ, точка $C$, будет принадлежать образу окружности $c$ при данном повороте. Обозначим образ окружности $c$ как $c'$.

Таким образом, точка $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она принадлежит прямой $l$ (по условию).
2. Она принадлежит окружности $c'$ (как образ точки $B$ с окружности $c$).

Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения прямой $l$ и окружности $c'$. Это дает нам следующий алгоритм построения:

План построения:

1. Построим образ $c'$ окружности $c$ при повороте вокруг точки $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки. Для этого:
   • Находим центр $O$ данной окружности $c$.
   • Строим точку $O'$ — образ точки $O$ при повороте вокруг $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки (аналогично задаче 1, построив равносторонний треугольник $AOO'$).
   • Строим окружность $c'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$, что и у окружности $c$.
2. Находим точки пересечения построенной окружности $c'$ и данной прямой $l$. Если точки пересечения существуют, обозначим одну из них как $C$. (Может быть 0, 1 или 2 решения).
3. Теперь, когда у нас есть вершина $C$, найдем вершину $B$. Так как $C$ — это образ $B$ при повороте на $60^\circ$ против часовой стрелки, то $B$ — это образ $C$ при обратном повороте, то есть на $60^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $A$.
4. Строим точку $B$ поворотом точки $C$ вокруг $A$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. По построению, точка $B$ будет лежать на исходной окружности $c$.
5. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый, так как $A$ — данная точка, $C \in l$, $B \in c$ и по построению он является равносторонним.

Примечание: Аналогичное построение можно выполнить, используя поворот на $60^\circ$ по часовой стрелке. Это может дать другие решения.

Ответ: Построение описано выше. Искомый треугольник $ABC$ имеет вершины: данную точку $A$, точку $C$ на пересечении прямой $l$ и образа окружности $c'$, и точку $B$, полученную обратным поворотом точки $C$.

Самостоятельная работа № 23

Гомотетия. Подобие фигур

1. Стороны двух правильных шестиугольников относятся как 3 : 5, а площадь меньшего из них равна 72 см². Найдите площадь большего шестиугольника.

2. Отметьте точки $P$ и $D$. Найдите такую точку $M$, чтобы точка $P$ была образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = \frac{1}{3};$

2) $k = -2.$

3. Даны прямая $m$, точка $C$ и окружность с центром в точке $O$ (рис. 8). Через точку $C$ проведите прямую, пересекающую окружность и прямую $m$ в точках $D$ и $E$ соответственно так, чтобы $DC : CE = 4 : 1.$

Рис. 8

22

1.

Пусть стороны меньшего и большего правильных шестиугольников равны $a_1$ и $a_2$, а их площади — $S_1$ и $S_2$ соответственно.По условию, стороны шестиугольников относятся как 3 : 5, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{5}$.Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия их сторон. Правильные шестиугольники всегда подобны.Следовательно, отношение их площадей равно:

$\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$

Площадь меньшего шестиугольника $S_1 = 72$ см². Подставим это значение в пропорцию, чтобы найти площадь большего шестиугольника $S_2$:

$\frac{72}{S_2} = \frac{9}{25}$

$S_2 = \frac{72 \cdot 25}{9} = 8 \cdot 25 = 200$ см²

Ответ: 200 см².

2.

Точка $P$ является образом точки $D$ при гомотетии с центром $M$ и коэффициентом $k$. Это означает, что выполняется векторное равенство $\vec{MP} = k \cdot \vec{MD}$. Точки $M, P, D$ лежат на одной прямой.

1) $k = \frac{1}{3}$

В этом случае равенство имеет вид $\vec{MP} = \frac{1}{3} \vec{MD}$.Поскольку коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{3} > 0$, точка $P$ лежит на луче $MD$, то есть находится между точками $M$ и $D$.Длина отрезка $MP$ составляет $\frac{1}{3}$ длины отрезка $MD$. Отсюда следует, что длина отрезка $PD$ равна $|PD| = |MD| - |MP| = |MD| - \frac{1}{3}|MD| = \frac{2}{3}|MD|$.Таким образом, отношение длин отрезков $|MP| : |PD| = (\frac{1}{3}|MD|) : (\frac{2}{3}|MD|) = 1:2$.Чтобы найти точку $M$, нужно на прямой, проходящей через точки $P$ и $D$, отложить от точки $P$ в сторону, противоположную точке $D$, отрезок $MP$, длина которого равна половине длины отрезка $PD$.

Ответ: Точка $M$ лежит на прямой $PD$ так, что точка $P$ находится между $M$ и $D$, и выполняется соотношение $|MP| = \frac{1}{2}|PD|$.

2) $k = -2$

В этом случае равенство имеет вид $\vec{MP} = -2 \vec{MD}$.Поскольку коэффициент гомотетии $k = -2 < 0$, векторы $\vec{MP}$ и $\vec{MD}$ противоположно направлены. Это означает, что центр гомотетии $M$ лежит на отрезке $PD$.Отношение длин отрезков равно $|MP| = |-2| \cdot |MD| = 2|MD|$.Так как точка $M$ лежит между $P$ и $D$, то $|PD| = |PM| + |MD| = 2|MD| + |MD| = 3|MD|$.Следовательно, $|MD| = \frac{1}{3}|PD|$ и $|PM| = \frac{2}{3}|PD|$.Это означает, что точка $M$ делит отрезок $PD$ в отношении $PM : MD = 2:1$, считая от точки $P$.

Ответ: Точка $M$ — это точка на отрезке $PD$, которая делит его в отношении $2:1$, считая от точки $P$.

3.

Эта задача решается методом гомотетии. Искомая прямая должна проходить через точку $C$ и пересекать окружность в точке $D$ и прямую $m$ в точке $E$ так, чтобы выполнялось условие $DC : CE = 4:1$.Это условие на длины отрезков $|DC| = 4|CE|$ приводит к двум возможным векторным соотношениям в зависимости от расположения точек на прямой:

1. Точка $E$ лежит между $C$ и $D$. Тогда $\vec{CD} = 4 \vec{CE}$. Это означает, что точка $D$ является образом точки $E$ при гомотетии $H_1$ с центром в точке $C$ и коэффициентом $k_1 = 4$.
2. Точка $C$ лежит между $D$ и $E$. Тогда $\vec{CD} = -4 \vec{CE}$. Это означает, что точка $D$ является образом точки $E$ при гомотетии $H_2$ с центром в точке $C$ и коэффициентом $k_2 = -4$.

Поскольку точка $E$ должна лежать на прямой $m$, ее образ, точка $D$, должна лежать на образе прямой $m$ при соответствующей гомотетии. Образом прямой при гомотетии является прямая, параллельная данной (если центр гомотетии не лежит на прямой). Также известно, что точка $D$ должна лежать на данной окружности. Следовательно, точка $D$ является точкой пересечения окружности и образа прямой $m$.

Алгоритм построения:

Рассмотрим оба случая:

1. Гомотетия с $k_1 = 4$:

• Построим образ $m'$ прямой $m$ при гомотетии $H_1(C, 4)$. Для этого выберем произвольную точку $A$ на прямой $m$ и построим ее образ $A'$ так, что $\vec{CA'} = 4\vec{CA}$. Через точку $A'$ проведем прямую $m'$, параллельную $m$.
• Найдем точки пересечения прямой $m'$ с данной окружностью. Если такие точки существуют (их может быть ноль, одна или две), обозначим их $D_1$ и $D_2$.
• Проведем прямые $CD_1$ и $CD_2$. Эти прямые являются решениями задачи.

2. Гомотетия с $k_2 = -4$:

• Построим образ $m''$ прямой $m$ при гомотетии $H_2(C, -4)$. Для этого выберем произвольную точку $A$ на прямой $m$ и построим ее образ $A''$ так, что $\vec{CA''} = -4\vec{CA}$. Через точку $A''$ проведем прямую $m''$, параллельную $m$.
• Найдем точки пересечения прямой $m''$ с данной окружностью. Если такие точки существуют, обозначим их $D_3$ и $D_4$.
• Проведем прямые $CD_3$ и $CD_4$. Эти прямые также являются решениями задачи.

Таким образом, задача может иметь до четырех решений в зависимости от взаимного расположения прямой, точки и окружности.

Ответ: Необходимо построить образы $m'$ и $m''$ прямой $m$ при гомотетиях с центром $C$ и коэффициентами $k=4$ и $k=-4$ соответственно. Искомые прямые проходят через точку $C$ и точки пересечения прямых $m'$ и $m''$ с данной окружностью.