Страница 26 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, $\angle BNC = 170^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 18 см вписан правильный шестиугольник. В этот шестиугольник вписана окружность, а в окружность — правильный треугольник. Найдите сторону треугольника.

3. Радиус окружности, вписанной в правильный восьмиугольник $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 4 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1.

Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $N$, образуя треугольник $NBC$, одной из сторон которого является сторона многоугольника $BC$.

Углы $\angle NBC$ и $\angle NCB$ этого треугольника являются внешними углами правильного многоугольника. Так как многоугольник правильный, все его внешние углы равны. Обозначим величину внешнего угла как $\beta$. Следовательно, $\angle NBC = \angle NCB = \beta$.

Сумма углов в треугольнике $NBC$ равна $180^\circ$: $\angle BNC + \angle NBC + \angle NCB = 180^\circ$.

Подставим известные значения из условия задачи: $170^\circ + \beta + \beta = 180^\circ$ $2\beta = 180^\circ - 170^\circ$ $2\beta = 10^\circ$ $\beta = 5^\circ$.

Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$. Найдем количество сторон $n$: $n = \frac{360^\circ}{\beta} = \frac{360^\circ}{5^\circ} = 72$.

Ответ: 72 стороны.

2.

Задача решается последовательными вычислениями.

1. В окружность радиуса $R_1 = 18$ см вписан правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника ($a_6$), вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности: $a_6 = R_1 = 18$ см.

2. В этот шестиугольник вписана вторая окружность. Её радиус ($r_2$) равен апофеме правильного шестиугольника. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной $a_6$, находится по формуле: $r_2 = \frac{a_6 \sqrt{3}}{2}$. $r_2 = \frac{18 \sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$ см.

3. Во вторую окружность вписан правильный треугольник. Это означает, что вторая окружность является описанной для этого треугольника, и её радиус $r_2$ является радиусом описанной окружности для треугольника ($R_3$). $R_3 = r_2 = 9\sqrt{3}$ см.

4. Сторона правильного треугольника ($a_3$), вписанного в окружность радиуса $R_3$, вычисляется по формуле: $a_3 = R_3 \sqrt{3}$. $a_3 = (9\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Ответ: 27 см.

3.

Дан правильный восьмиугольник $A_1A_2...A_8$, у которого радиус вписанной окружности $r = 4$ см. Требуется найти длины диагоналей $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

Для решения задачи найдем радиус описанной окружности $R$. Связь между радиусом вписанной ($r$) и описанной ($R$) окружностей для правильного $n$-угольника дается формулой $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для восьмиугольника ($n=8$): $r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{8}\right) = R \cos(22.5^\circ)$.

Найдем $R$, выразив его через $r$: $R = \frac{r}{\cos(22.5^\circ)} = \frac{4}{\cos(22.5^\circ)}$.

Диагональ $A_1A_4$
Длина диагонали, соединяющей вершины $A_1$ и $A_4$, определяется длиной хорды, стягивающей центральный угол $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 135^\circ$. Длина хорды вычисляется по формуле $d = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ - центральный угол. $A_1A_4 = 2R \sin\left(\frac{135^\circ}{2}\right) = 2R \sin(67.5^\circ)$. Используя формулу приведения $\sin(67.5^\circ) = \cos(90^\circ - 67.5^\circ) = \cos(22.5^\circ)$, получаем: $A_1A_4 = 2R \cos(22.5^\circ)$. Так как $r = R \cos(22.5^\circ)$, то $A_1A_4 = 2r$. $A_1A_4 = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Диагональ $A_1A_3$ и $A_1A_5$
Для нахождения длин других диагоналей нам понадобится значение $R$. Вычислим $\cos(22.5^\circ)$ по формуле половинного угла: $\cos(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1+\cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$. Теперь найдем $R$: $R = \frac{4}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ см.

Диагональ $A_1A_5$ соединяет противоположные вершины и является диаметром описанной окружности: $A_1A_5 = 2R = 2 \cdot \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} = \frac{16}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Упростим выражение: $A_1A_5 = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = \frac{16\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2(2-\sqrt{2})} = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ см.

Диагональ $A_1A_3$ стягивает центральный угол $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 90^\circ$. Треугольник $A_1OA_3$ является равнобедренным прямоугольным с катетами $R$. По теореме Пифагора: $A_1A_3 = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$. $A_1A_3 = \frac{8}{\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot \sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$. Упростим: $A_1A_3 = \frac{8\sqrt{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}} = \frac{8\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см.

Ответ: $A_1A_3 = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}$ см, $A_1A_4 = 8$ см, $A_1A_5 = 8\sqrt{4-2\sqrt{2}}$ см.

Самостоятельная работа № 7

Длина окружности.

Площадь круга

1. Радиус круга увеличили на $\frac{1}{5}$ его длины. Во сколько раз увеличилась:

1) длина окружности;

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

2. Диаметр колеса велосипеда равен 0,7 м. Найдите скорость велосипедиста в километрах в час, если за одну минуту колесо делает 100 оборотов. Ответ округлите до единиц.

3. Радиус круга равен 2 см. По разные стороны от его центра проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

1.

Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. После увеличения радиус стал равен $R_2$. По условию, радиус увеличили на $\frac{1}{5}$ его длины, следовательно, новый радиус: $R_2 = R_1 + \frac{1}{5}R_1 = \frac{6}{5}R_1 = 1.2 R_1$.

1) длина окружности;
Длина окружности вычисляется по формуле $C = 2\pi R$. Изначальная длина окружности: $C_1 = 2\pi R_1$. Новая длина окружности: $C_2 = 2\pi R_2 = 2\pi (\frac{6}{5}R_1) = \frac{6}{5} (2\pi R_1) = \frac{6}{5}C_1$. Чтобы найти, во сколько раз увеличилась длина окружности, найдем отношение новой длины к старой: $\frac{C_2}{C_1} = \frac{\frac{6}{5}C_1}{C_1} = \frac{6}{5} = 1.2$.
Ответ: Длина окружности увеличилась в 1,2 раза.

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?
Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi R^2$. Изначальная площадь круга: $S_1 = \pi R_1^2$. Новая площадь круга: $S_2 = \pi R_2^2 = \pi (\frac{6}{5}R_1)^2 = \pi (\frac{36}{25}R_1^2) = \frac{36}{25} (\pi R_1^2) = \frac{36}{25}S_1$. Найдем отношение новой площади к старой: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{36}{25}S_1}{S_1} = \frac{36}{25} = 1.44$.
Ответ: Площадь круга увеличилась в 1,44 раза.

2.

1. Найдем длину окружности колеса. Диаметр $d = 0.7$ м. Длина окружности $C$ (расстояние, проходимое за один оборот) вычисляется по формуле $C = \pi d$. $C = \pi \times 0.7 \approx 3.14159 \times 0.7 \approx 2.199$ м.

2. Колесо делает 100 оборотов за 1 минуту. Найдем расстояние, которое проезжает велосипед за 1 минуту: $S_{мин} = 100 \times C = 100 \times 0.7\pi = 70\pi$ м.

3. Скорость велосипедиста в метрах в минуту равна $70\pi$ м/мин. Переведем эту скорость в километры в час. В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 60 минут. $V = 70\pi \frac{м}{мин} = 70\pi \frac{0.001 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 70\pi \times 0.001 \times 60 \frac{км}{ч} = 4.2\pi \frac{км}{ч}$.

4. Вычислим численное значение скорости и округлим до единиц: $V = 4.2 \times \pi \approx 4.2 \times 3.14159 \approx 13.194678$ км/ч. Округляя до единиц, получаем 13 км/ч.
Ответ: Скорость велосипедиста примерно равна 13 км/ч.

3.

Площадь части круга, находящейся между двумя параллельными хордами, расположенными по разные стороны от центра, можно найти как площадь всего круга за вычетом площадей двух сегментов, отсекаемых этими хордами.

1. Дан радиус круга $R = 2$ см. Площадь всего круга: $S_{круга} = \pi R^2 = \pi (2)^2 = 4\pi$ см².

2. Первая хорда равна стороне правильного вписанного треугольника ($a_3$). Ее длина вычисляется по формуле $a_3 = R\sqrt{3}$. $a_3 = 2\sqrt{3}$ см. Центральный угол, стягиваемый этой хордой, равен $\alpha = 120^\circ$ или $\frac{2\pi}{3}$ радиан. Площадь сегмента, отсекаемого этой хордой, равна разности площади сектора и площади равнобедренного треугольника с боковыми сторонами $R$ и основанием $a_3$: $S_{сег1} = S_{сект1} - S_{\triangle1} = \frac{\alpha}{360^\circ}\pi R^2 - \frac{1}{2}R^2\sin\alpha = \frac{120^\circ}{360^\circ}\pi(2^2) - \frac{1}{2}(2^2)\sin(120^\circ) = \frac{1}{3} \cdot 4\pi - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3})$ см².

3. Вторая хорда равна стороне правильного вписанного шестиугольника ($a_6$). Ее длина вычисляется по формуле $a_6 = R$. $a_6 = 2$ см. Центральный угол, стягиваемый этой хордой, равен $\beta = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан. Площадь сегмента, отсекаемого этой хордой: $S_{сег2} = S_{сект2} - S_{\triangle2} = \frac{\beta}{360^\circ}\pi R^2 - \frac{1}{2}R^2\sin\beta = \frac{60^\circ}{360^\circ}\pi(2^2) - \frac{1}{2}(2^2)\sin(60^\circ) = \frac{1}{6} \cdot 4\pi - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3})$ см².

4. Искомая площадь $S$ равна площади круга минус площади двух сегментов: $S = S_{круга} - S_{сег1} - S_{сег2} = 4\pi - (\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}) - (\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}) = 4\pi - \frac{4\pi}{3} + \sqrt{3} - \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3} = 4\pi - \frac{6\pi}{3} + 2\sqrt{3} = 4\pi - 2\pi + 2\sqrt{3} = (2\pi + 2\sqrt{3})$ см².
Ответ: Площадь части круга, находящейся между хордами, равна $(2\pi + 2\sqrt{3})$ см².