Страница 29 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 14

Координаты вектора

1. От точки $M(-2; 4)$ отложен вектор $\vec{n}(4; -6)$. Найдите координаты конца вектора $\vec{n}$.

2. Даны координаты трёх вершин параллелограмма $ABCD$: $A(1; 2)$, $C(-2; 4)$, $D(7; -1)$. Используя векторы, найдите координаты вершины $B$.

3. Точки $A(-2; 8)$ и $D(6; 8)$ — вершины прямоугольника $ABCD$. Модуль вектора $\vec{BD}$ равен $10$. Найдите координаты точек $A$ и $B$.

1.

Пусть M(-2; 4) — начальная точка вектора, а K(x; y) — его конечная точка. Если от точки M отложен вектор $\vec{n}$, то вектор $\vec{MK}$ равен вектору $\vec{n}$.

Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала:

$\vec{MK} = (x_K - x_M; y_K - y_M)$

Подставим известные значения координат точки M и вектора $\vec{n}(4; -6)$:

$(4; -6) = (x_K - (-2); y_K - 4)$

Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему уравнений:

$x_K + 2 = 4$

$y_K - 4 = -6$

Решаем эти уравнения:

$x_K = 4 - 2 = 2$

$y_K = -6 + 4 = -2$

Таким образом, координаты конца вектора равны (2; -2).

Ответ: (2; -2).

2.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы, соответствующие этим сторонам, равны. Например, вектор $\vec{AD}$ равен вектору $\vec{BC}$.

Пусть искомые координаты вершины B равны $(x_B; y_B)$.

Сначала найдем координаты вектора $\vec{AD}$, используя координаты точек A(1; 2) и D(7; -1):

$\vec{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (7 - 1; -1 - 2) = (6; -3)$.

Теперь выразим координаты вектора $\vec{BC}$ через известные координаты точки C(-2; 4) и неизвестные координаты точки B($x_B; y_B$):

$\vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-2 - x_B; 4 - y_B)$.

Поскольку в параллелограмме ABCD векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ равны, мы можем приравнять их соответствующие координаты:

$6 = -2 - x_B$

$-3 = 4 - y_B$

Решая полученные уравнения, находим координаты точки B:

$x_B = -2 - 6 = -8$

$y_B = 4 - (-3) = 4 + 3 = 7$

Следовательно, координаты вершины B равны (-8; 7).

Ответ: B(-8; 7).

3.

Координаты точки A даны в условии: A(-2; 8). Требуется найти координаты точки B.

Даны координаты вершин прямоугольника ABCD: A(-2; 8) и D(6; 8). Так как ординаты (координаты y) этих точек одинаковы, сторона AD параллельна оси Ox (горизонтальна).

В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны. Следовательно, сторона AB перпендикулярна стороне AD. Поскольку AD горизонтальна, AB должна быть вертикальна, то есть параллельна оси Oy.

Это означает, что абсцисса (координата x) точки B должна быть такой же, как у точки A. Пусть координаты B — это $(x_B; y_B)$. Тогда $x_B = x_A = -2$.

Итак, точка B имеет координаты B(-2; $y_B$).

По условию, модуль (длина) вектора $\vec{BD}$ равен 10. Найдем координаты этого вектора, используя координаты точек B(-2; $y_B$) и D(6; 8):

$\vec{BD} = (x_D - x_B; y_D - y_B) = (6 - (-2); 8 - y_B) = (8; 8 - y_B)$.

Модуль вектора $\vec{v}(v_x; v_y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Применим эту формулу к вектору $\vec{BD}$:

$|\vec{BD}| = \sqrt{8^2 + (8 - y_B)^2} = 10$.

Чтобы решить это уравнение, возведем обе его части в квадрат:

$8^2 + (8 - y_B)^2 = 10^2$

$64 + (8 - y_B)^2 = 100$

$(8 - y_B)^2 = 100 - 64$

$(8 - y_B)^2 = 36$

Это уравнение имеет два решения:

1) $8 - y_B = 6 \implies y_B = 8 - 6 = 2$.

2) $8 - y_B = -6 \implies y_B = 8 - (-6) = 8 + 6 = 14$.

Таким образом, существует два возможных положения для точки B, удовлетворяющих условиям задачи.

Ответ: A(-2; 8); B(-2; 2) или B(-2; 14).

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $ \vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD} $;

2) $ \vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB} $;

3) $ \vec{DA} - \vec{BA} - \vec{DC} + \vec{BC} $.

2. Даны точки A (-2; 3) и B (6; 5). Найдите координаты точки C такой, что $ \vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0} $.

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $ |\vec{AX} - \vec{XB}| = 4 $, если $ |\vec{AB}| = 6 $.

1) Для упрощения выражения $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD}$ воспользуемся свойствами параллелограмма $ABCD$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{BC} = \vec{BA} + (-\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BA} + \vec{0} = \vec{BA}$.
Другой способ решения: по правилу вычитания векторов $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$. Тогда выражение принимает вид $\vec{CA} + \vec{AD}$. По правилу сложения векторов (правило треугольника) получаем: $\vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{CD} = \vec{BA}$.
Ответ: $\vec{BA}$.

2) Для упрощения выражения $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB}$ перегруппируем слагаемые: $(\vec{DB} + \vec{BC}) + \vec{BA}$.
По правилу треугольника для сложения векторов, сумма $\vec{DB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{DC}$.
Таким образом, выражение сводится к $\vec{DC} + \vec{BA}$.
В параллелограмме $ABCD$ векторы $\vec{DC}$ и $\vec{AB}$ равны: $\vec{DC} = \vec{AB}$.
Подставив это, получим: $\vec{AB} + \vec{BA}$.
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

3) Рассмотрим выражение $\vec{DA} - \vec{BA} - \vec{DC} + \vec{BC}$.
Используем свойства векторов и параллелограмма. Замена векторов на противоположные: $-\vec{BA} = \vec{AB}$ и $-\vec{DC} = \vec{CD}$.
Выражение можно переписать так: $\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BC}$.
Сгруппируем слагаемые: $(\vec{DA} + \vec{AB}) + (\vec{BC} + \vec{CD})$.
По правилу треугольника: $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$ и $\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.
Выражение принимает вид $\vec{DB} + \vec{BD}$.
Сумма противоположных векторов $\vec{DB}$ и $\vec{BD}$ равна нулевому вектору: $\vec{DB} + \vec{BD} = \vec{DD} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

2. Даны точки $A(-2; 3)$ и $B(6; 5)$. Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$.
Координаты вектора определяются как разность координат его конца и начала.
Координаты вектора $\vec{BC}$: $(x - 6; y - 5)$.
Координаты вектора $\vec{AC}$: $(x - (-2); y - 3) = (x + 2; y - 3)$.
По условию $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$. Сложим векторы, сложив их соответствующие координаты:
$\vec{BC} + \vec{AC} = ((x - 6) + (x + 2); (y - 5) + (y - 3)) = (2x - 4; 2y - 8)$.
Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет координаты $(0; 0)$. Приравниваем соответствующие координаты:
$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$2y - 8 = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4$.
Следовательно, точка $C$ имеет координаты $(2; 4)$.
Заметим, что условие $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$ равносильно тому, что $\vec{CA} = \vec{BC}$, а это означает, что $C$ является серединой отрезка $AB$.
Ответ: $C(2; 4)$.

3. Нам нужно найти геометрическое место точек $X$, удовлетворяющих условию $|\vec{AX} - \vec{XB}| = 4$.
Преобразуем векторное выражение $\vec{AX} - \vec{XB}$. Используя правило вычитания и то, что $-\vec{XB} = \vec{BX}$, можно запутаться. Вместо этого представим векторы через радиус-векторы точек из произвольного начала координат $O$: $\vec{AX} = \vec{OX} - \vec{OA}$ и $\vec{XB} = \vec{OB} - \vec{OX}$.
Тогда $\vec{AX} - \vec{XB} = (\vec{OX} - \vec{OA}) - (\vec{OB} - \vec{OX}) = \vec{OX} - \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OX} = 2\vec{OX} - (\vec{OA} + \vec{OB})$.
Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Её радиус-вектор $\vec{OM}$ равен полусумме радиус-векторов точек $A$ и $B$: $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$. Отсюда $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$.
Подставим это в наше выражение: $2\vec{OX} - 2\vec{OM} = 2(\vec{OX} - \vec{OM}) = 2\vec{MX}$.
Теперь исходное уравнение можно переписать как $|2\vec{MX}| = 4$.
$2|\vec{MX}| = 4$.
$|\vec{MX}| = 2$.
Это уравнение означает, что расстояние от точки $X$ до точки $M$ (середины отрезка $AB$) постоянно и равно 2.
Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки, является окружностью (если задача на плоскости).
Таким образом, искомое ГМТ — это окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом, равным 2. Условие $|\vec{AB}|=6$ определяет расстояние между точками $A$ и $B$ и, следовательно, положение центра окружности, но не влияет на её радиус.
Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом 2.

Самостоятельная работа № 16

Умножение вектора на число.

Применение векторов к решению задач

1. Даны векторы $\vec{a}(-2; 4)$ и $\vec{b}(3; 1)$. Найдите координаты вектора:

1) $\vec{a} + 2\vec{b}$;

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}$.

2. На сторонах $AD$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $P$ и $E$ соответственно так, что $AP = \frac{1}{4}AD$, $CE = \frac{2}{7}CD$. Выразите вектор $\vec{PE}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{m}$ и $\vec{BC} = \vec{n}$.

3. На стороне $AD$ и диагонали $BD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $P$ и $N$ так, что $DP : PA = 1 : 2$, $DN : NB = 1 : 3$. Используя векторы, докажите, что точки $C$, $N$ и $P$ лежат на одной прямой.

1) $\vec{a} + 2\vec{b}$

Даны векторы $\vec{a}(-2; 4)$ и $\vec{b}(3; 1)$.
Сначала найдем координаты вектора $2\vec{b}$, умножив каждую координату вектора $\vec{b}$ на 2:
$2\vec{b} = (2 \cdot 3; 2 \cdot 1) = (6; 2)$.
Теперь сложим соответствующие координаты векторов $\vec{a}$ и $2\vec{b}$:
$\vec{a} + 2\vec{b} = (-2 + 6; 4 + 2) = (4; 6)$.
Ответ: $(4; 6)$.

2) $4\vec{b} - 3\vec{a}$

Найдем координаты векторов $4\vec{b}$ и $3\vec{a}$.
$4\vec{b} = (4 \cdot 3; 4 \cdot 1) = (12; 4)$.
$3\vec{a} = (3 \cdot (-2); 3 \cdot 4) = (-6; 12)$.
Теперь вычтем из координат вектора $4\vec{b}$ соответствующие координаты вектора $3\vec{a}$:
$4\vec{b} - 3\vec{a} = (12 - (-6); 4 - 12) = (12 + 6; -8) = (18; -8)$.
Ответ: $(18; -8)$.

2.

В параллелограмме ABCD противоположные стороны равны и параллельны, поэтому $\vec{AD} = \vec{BC} = \vec{n}$ и $\vec{DC} = \vec{AB} = \vec{m}$. Также $\vec{CD} = -\vec{DC} = -\vec{m}$.
Чтобы выразить вектор $\vec{PE}$, представим его как разность векторов, проведенных из одной точки, например, из точки A: $\vec{PE} = \vec{AE} - \vec{AP}$.
Найдем вектор $\vec{AP}$. По условию $AP = \frac{1}{4}AD$, и векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Следовательно:
$\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{n}$.
Найдем вектор $\vec{AE}$. Его можно представить как сумму векторов: $\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE}$.
Найдем $\vec{DE}$. Точка E лежит на стороне CD, по условию $CE = \frac{2}{7}CD$, значит $DE = CD - CE = \frac{5}{7}CD$. Векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DC}$ сонаправлены (оба начинаются в точке D). Следовательно:
$\vec{DE} = \frac{5}{7}\vec{DC} = \frac{5}{7}\vec{m}$.
Теперь можем найти $\vec{AE}$:
$\vec{AE} = \vec{AD} + \vec{DE} = \vec{n} + \frac{5}{7}\vec{m}$.
Наконец, вычисляем $\vec{PE}$:
$\vec{PE} = \vec{AE} - \vec{AP} = (\vec{n} + \frac{5}{7}\vec{m}) - \frac{1}{4}\vec{n} = \frac{5}{7}\vec{m} + (1 - \frac{1}{4})\vec{n} = \frac{5}{7}\vec{m} + \frac{3}{4}\vec{n}$.
Ответ: $\vec{PE} = \frac{5}{7}\vec{m} + \frac{3}{4}\vec{n}$.

3.

Чтобы доказать, что точки C, N и P лежат на одной прямой, необходимо показать, что векторы $\vec{CN}$ и $\vec{CP}$ коллинеарны. То есть, что существует такое число $k$, что выполняется равенство $\vec{CP} = k \cdot \vec{CN}$.
Введем базисные векторы, отложенные от вершины A: пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.
Выразим векторы положения точек P, N и C через базисные векторы:
$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.
Точка P делит сторону AD в отношении $DP : PA = 1 : 2$, значит $AP = \frac{2}{3}AD$. Следовательно, $\vec{AP} = \frac{2}{3}\vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{b}$.
Точка N делит диагональ BD в отношении $DN : NB = 1 : 3$. По формуле деления отрезка в заданном отношении, вектор положения точки N: $\vec{AN} = \frac{3\vec{AD} + 1\vec{AB}}{3+1} = \frac{3\vec{b} + \vec{a}}{4} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$.
Теперь найдем векторы $\vec{CP}$ и $\vec{CN}$:
$\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC} = \frac{2}{3}\vec{b} - (\vec{a} + \vec{b}) = -\vec{a} + (\frac{2}{3} - 1)\vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}$.
$\vec{CN} = \vec{AN} - \vec{AC} = (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}) - (\vec{a} + \vec{b}) = (\frac{1}{4} - 1)\vec{a} + (\frac{3}{4} - 1)\vec{b} = -\frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}$.
Проверим, существует ли $k$, такое что $\vec{CP} = k \cdot \vec{CN}$:
$-\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} = k \cdot (-\frac{3}{4}\vec{a} - \frac{1}{4}\vec{b}) = -\frac{3k}{4}\vec{a} - \frac{k}{4}\vec{b}$.
Поскольку базисные векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны, равенство возможно только при равенстве коэффициентов при них:
$\begin{cases} -1 = -\frac{3k}{4} \\ -\frac{1}{3} = -\frac{k}{4} \end{cases}$
Из первого уравнения получаем $k = \frac{4}{3}$.
Из второго уравнения получаем $k = \frac{4}{3}$.
Поскольку значение $k$ совпало, векторы коллинеарны: $\vec{CP} = \frac{4}{3}\vec{CN}$.
Так как векторы $\vec{CP}$ и $\vec{CN}$ коллинеарны и имеют общую начальную точку C, то точки C, P и N лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.