Страница 35 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самастоятельная работа № 4

Решение треугольников

1. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $AC = 9$ см;

2) $AB = 10$ см, $AC = 9$ см, $\angle B = 15^\circ$.

2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 10$ см, $\angle ACB = 34^\circ$, $\angle ACD = 68^\circ$. Найдите основания и диагональ трапеции.

3. Большая сторона треугольника равна 8 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $4 : 5 : 6$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Даны три стороны треугольника: $c = AB = 5$ см, $a = BC = 7$ см, $b = AC = 9$ см. Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов.

Найдем угол $A$, противолежащий стороне $a=BC$:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{9^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{81 + 25 - 49}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30}$
$\angle A = \arccos\left(\frac{19}{30}\right) \approx 50.70^\circ$

Найдем угол $B$, противолежащий стороне $b=AC$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 5^2 - 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0.1$
$\angle B = \arccos(-0.1) \approx 95.74^\circ$

Найдем угол $C$, противолежащий стороне $c=AB$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 50.70^\circ - 95.74^\circ \approx 33.56^\circ$
Проверка по теореме косинусов:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$
$\angle C = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56^\circ$
Все углы найдены верно.

Ответ: $\angle A \approx 50.70^\circ$, $\angle B \approx 95.74^\circ$, $\angle C \approx 33.56^\circ$.

Даны две стороны и угол, не лежащий между ними: $c = AB = 10$ см, $b = AC = 9$ см, $\angle B = 15^\circ$. Это так называемый "неоднозначный случай" в решении треугольников. Используем теорему синусов, чтобы найти угол $C$.

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin C = \frac{c \cdot \sin B}{b} = \frac{10 \cdot \sin 15^\circ}{9}$
Используя значение $\sin 15^\circ \approx 0.2588$, получаем:
$\sin C \approx \frac{10 \cdot 0.2588}{9} \approx 0.2876$

Поскольку $0 < \sin C < 1$, существует два возможных значения для угла $C$: острый угол $C_1$ и тупой угол $C_2 = 180^\circ - C_1$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $C_1$ острый.
$C_1 = \arcsin(0.2876) \approx 16.71^\circ$
Тогда третий угол $A_1 = 180^\circ - B - C_1 \approx 180^\circ - 15^\circ - 16.71^\circ = 148.29^\circ$.
Найдем сторону $a_1 = BC$ по теореме синусов:
$\frac{a_1}{\sin A_1} = \frac{b}{\sin B} \implies a_1 = \frac{b \sin A_1}{\sin B} \approx \frac{9 \cdot \sin 148.29^\circ}{\sin 15^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.5256}{0.2588} \approx 18.28$ см.

Случай 2: Угол $C_2$ тупой.
$C_2 = 180^\circ - C_1 \approx 180^\circ - 16.71^\circ = 163.29^\circ$
Тогда третий угол $A_2 = 180^\circ - B - C_2 \approx 180^\circ - 15^\circ - 163.29^\circ = 1.71^\circ$.
Найдем сторону $a_2 = BC$ по теореме синусов:
$a_2 = \frac{b \sin A_2}{\sin B} \approx \frac{9 \cdot \sin 1.71^\circ}{\sin 15^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.0298}{0.2588} \approx 1.04$ см.

Ответ: Существует два возможных треугольника.
1. $BC \approx 18.28$ см, $\angle C \approx 16.71^\circ$, $\angle A \approx 148.29^\circ$.
2. $BC \approx 1.04$ см, $\angle C \approx 163.29^\circ$, $\angle A \approx 1.71^\circ$.

Поскольку боковые стороны трапеции $ABCD$ равны ($AB = CD = 10$ см), трапеция является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, а диагонали равны.

Найдем угол $\angle BCD$:
$\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 34^\circ + 68^\circ = 102^\circ$.
Так как трапеция равнобедренная, $\angle ABC = \angle BCD = 102^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.
$\angle CDA = \angle DAB = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем сторону $AB = 10$ см и два угла: $\angle ABC = 102^\circ$, $\angle ACB = 34^\circ$.
Найдем третий угол: $\angle BAC = 180^\circ - 102^\circ - 34^\circ = 44^\circ$.
Применим теорему синусов для $\triangle ABC$: $\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$.
$\frac{10}{\sin 34^\circ} = \frac{AC}{\sin 102^\circ} = \frac{BC}{\sin 44^\circ}$.

Найдем диагональ $AC$:
$AC = \frac{10 \cdot \sin 102^\circ}{\sin 34^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.9781}{0.5592} \approx 17.49$ см.
Найдем меньшее основание $BC$:
$BC = \frac{10 \cdot \sin 44^\circ}{\sin 34^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.6947}{0.5592} \approx 12.42$ см.

Теперь найдем большее основание $AD$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем $CD = 10$ см, $AC \approx 17.49$ см, $\angle ACD = 68^\circ$, $\angle CDA = 78^\circ$.
Найдем угол $\angle CAD = 180^\circ - 68^\circ - 78^\circ = 34^\circ$.
Применим теорему синусов для $\triangle ACD$: $\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{CD}{\sin \angle CAD}$.
$\frac{AD}{\sin 68^\circ} = \frac{10}{\sin 34^\circ}$.
$AD = \frac{10 \cdot \sin 68^\circ}{\sin 34^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.9272}{0.5592} \approx 16.58$ см.

Ответ: Основания трапеции равны $BC \approx 12.42$ см и $AD \approx 16.58$ см, диагональ $AC = BD \approx 17.49$ см.

Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $4:5:6$. Обозначим их как $4x, 5x, 6x$.
Сумма градусных мер этих дуг равна $360^\circ$:
$4x + 5x + 6x = 360^\circ \implies 15x = 360^\circ \implies x = 24^\circ$.
Таким образом, градусные меры дуг равны:
$4 \cdot 24^\circ = 96^\circ$
$5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$
$6 \cdot 24^\circ = 144^\circ$.

Угол треугольника, образованный двумя касательными, проведенными из одной вершины, связан с центральным углом, опирающимся на дугу между точками касания. Величина угла треугольника равна $180^\circ$ минус величина соответствующего центрального угла (которая равна градусной мере дуги).
Найдем углы треугольника:
$\angle A = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$
$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$
(Наименьшая дуга соответствует наибольшему углу, и наоборот).
Проверка: $36^\circ + 60^\circ + 84^\circ = 180^\circ$.

По условию, большая сторона треугольника равна 8 см. В треугольнике большая сторона лежит против большего угла. Наибольший угол - $84^\circ$, значит, сторона, противолежащая ему, равна 8 см. Пусть это будет сторона $c$.
Итак, у нас есть треугольник с углами $A=36^\circ, B=60^\circ, C=84^\circ$ и стороной $c=8$ см. Найдем неизвестные стороны $a$ и $b$ с помощью теоремы синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 36^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 84^\circ}$

Найдем сторону $a$:
$a = \frac{8 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 84^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.5878}{0.9945} \approx 4.73$ см.
Найдем сторону $b$:
$b = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 84^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.8660}{0.9945} \approx 6.97$ см.

Ответ: Неизвестные стороны треугольника равны примерно $4.73$ см и $6.97$ см.

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла $B$ отложены отрезки $BC = 5$ см, $CD = 4$ см, $BE = 6$ см, $EF = 8$ см (рис. 14). Найдите отношение площадей треугольника $BCE$ и четырёхугольника $CDFE$.

2. Медианы $AD$ и $BN$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $F$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AD = 9$ см, $BN = 24$ см, $\angle AFB = 135^{\circ}$.

3. Основания трапеции равны 4 см и 16 см, а диагонали — 11 см и 13 см. Найдите площадь трапеции.

1. Площадь треугольника можно найти по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.
Рассмотрим треугольники BCE и BDF. Они имеют общий угол B.
Найдем площадь треугольника BCE. По условию, $BC = 5$ см, $BE = 6$ см.
$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BE \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin B = 15 \sin B$.
Теперь найдем данные для треугольника BDF. Его стороны, образующие угол B, это BD и BF.
$BD = BC + CD = 5 + 4 = 9$ см.
$BF = BE + EF = 6 + 8 = 14$ см.
Площадь треугольника BDF:
$S_{BDF} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot BF \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 14 \cdot \sin B = 63 \sin B$.
Площадь четырехугольника CDFE равна разности площадей треугольников BDF и BCE:
$S_{CDFE} = S_{BDF} - S_{BCE} = 63 \sin B - 15 \sin B = 48 \sin B$.
Найдем искомое отношение площадей:
$\frac{S_{BCE}}{S_{CDFE}} = \frac{15 \sin B}{48 \sin B} = \frac{15}{48}$.
Сократив дробь на 3, получаем:
$\frac{15}{48} = \frac{5}{16}$.
Ответ: 5/16.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Точка F является точкой пересечения медиан (центроидом) треугольника ABC.
Найдем длины отрезков, на которые точка F делит медианы AD и BN:
$AF = \frac{2}{3} AD = \frac{2}{3} \cdot 9 = 6$ см.
$BF = \frac{2}{3} BN = \frac{2}{3} \cdot 24 = 16$ см.
$FN = \frac{1}{3} BN = \frac{1}{3} \cdot 24 = 8$ см.
Площадь треугольника AFB найдем по формуле $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$:
$S_{AFB} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot BF \cdot \sin(\angle AFB)$.
По условию $\angle AFB = 135^{\circ}$. Значение синуса: $\sin(135^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 45^{\circ}) = \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$S_{AFB} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 16 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 24\sqrt{2}$ см².
Медиана BN делит треугольник ABC на два треугольника равной площади: $S_{ABN} = S_{CBN} = \frac{1}{2} S_{ABC}$.
Площадь треугольника ABN равна сумме площадей треугольников AFB и AFN: $S_{ABN} = S_{AFB} + S_{AFN}$.
Найдем площадь треугольника AFN. Углы $\angle AFB$ и $\angle AFN$ являются смежными, их сумма равна $180^{\circ}$.
$\angle AFN = 180^{\circ} - \angle AFB = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$.
$S_{AFN} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot FN \cdot \sin(\angle AFN) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin(45^{\circ}) = 24 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$ см².
Теперь найдем площадь треугольника ABN:
$S_{ABN} = S_{AFB} + S_{AFN} = 24\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 36\sqrt{2}$ см².
Площадь всего треугольника ABC в два раза больше площади треугольника ABN:
$S_{ABC} = 2 \cdot S_{ABN} = 2 \cdot 36\sqrt{2} = 72\sqrt{2}$ см².
Ответ: 72$\sqrt{2}$ см².

3. Пусть дана трапеция ABCD с основаниями $AD = 16$ см и $BC = 4$ см, и диагоналями $AC = 13$ см и $BD = 11$ см.
Для нахождения площади применим метод достроения. Проведем через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E.
Рассмотрим четырехугольник BCED. В нем $BC \parallel DE$ (как части оснований трапеции) и $CE \parallel BD$ (по построению). Следовательно, BCED — параллелограмм.
Из свойств параллелограмма следует, что $DE = BC = 4$ см и $CE = BD = 11$ см.
Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE. Это следует из того, что оба они состоят из общей части (треугольника ACD) и равновеликих треугольников (ABC и CDE, т.к. у них равные основания $BC=DE$ и общая высота, равная высоте трапеции).
Найдем стороны треугольника ACE:
$AC = 13$ см (по условию).
$CE = BD = 11$ см (по построению).
$AE = AD + DE = 16 + 4 = 20$ см.
Зная все три стороны треугольника, найдем его площадь по формуле Герона: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр.
Найдем полупериметр $s$:
$s = \frac{AE + AC + CE}{2} = \frac{20 + 13 + 11}{2} = \frac{44}{2} = 22$ см.
Вычислим площадь треугольника ACE:
$S_{ACE} = \sqrt{22(22-20)(22-13)(22-11)} = \sqrt{22 \cdot 2 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{(2 \cdot 11) \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 11} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66$ см².
Так как $S_{ABCD} = S_{ACE}$, то площадь трапеции равна 66 см².
Ответ: 66 см².