Страница 42 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $CD$ и точка $O$ (рис. 15).

Постройте образ отрезка $CD$ при повороте на угол $150^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

2. Образом точки $A (a; 6)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ против часовой стрелки является точка $B (b; -7)$. Найдите $a$ и $b$.

3. Даны прямая, окружность и точка $A$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой.

Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной в точке $A$ и углом при вершине, равным $45^\circ$, так, чтобы вершины $B$ и $C$ принадлежали соответственно данной окружности и данной прямой.

Рис. 15

Для построения образа отрезка $CD$ при повороте необходимо построить образы его конечных точек, $C$ и $D$. Пусть $C'$ и $D'$ — образы точек $C$ и $D$ соответственно. Тогда отрезок $C'D'$ будет искомым образом отрезка $CD$.

Порядок построения:

1. Построение точки $C'$ (образа точки $C$):
   1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $C$ отрезком $OC$.
   2. С помощью транспортира отложим от луча $OC$ угол, равный $150^\circ$, по часовой стрелке. Получим новый луч.
   3. На этом луче от точки $O$ отложим отрезок $OC'$, равный по длине отрезку $OC$. Точка $C'$ — искомый образ точки $C$.
2. Построение точки $D'$ (образа точки $D$):
   1. Соединим центр поворота $O$ с точкой $D$ отрезком $OD$.
   2. От луча $OD$ отложим угол $150^\circ$ по часовой стрелке.
   3. На полученном луче от точки $O$ отложим отрезок $OD'$, равный по длине отрезку $OD$. Точка $D'$ — искомый образ точки $D$.
3. Построение образа отрезка:
   1. Соединим точки $C'$ и $D'$ отрезком.

Полученный отрезок $C'D'$ является образом отрезка $CD$ при повороте на угол $150^\circ$ вокруг центра $O$ по часовой стрелке.

Ответ: Построенный отрезок $C'D'$ является искомым образом.

Формула поворота точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат на угол $90^\circ$ против часовой стрелки имеет вид: $(x; y) \rightarrow (-y; x)$.

Исходная точка — $A(a; 6)$. Применяя к ней данное преобразование, где $x=a$ и $y=6$, получаем координаты её образа: $(-6; a)$.

По условию, образом точки $A$ является точка $B(b; -7)$. Следовательно, мы можем приравнять соответствующие координаты:

$(-6; a) = (b; -7)$

Отсюда получаем систему уравнений:

$\begin{cases} b = -6 \\ a = -7 \end{cases}$

Таким образом, искомые значения: $a = -7$ и $b = -6$.

Ответ: $a = -7$, $b = -6$.

Пусть дана прямая $l$, окружность $\omega$ и точка $A$. Требуется построить равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной $A$, у которого $\angle BAC = 45^\circ$, $B \in \omega$ и $C \in l$.

Условия, что $ABC$ — равнобедренный треугольник с вершиной $A$ ($AB=AC$) и $\angle BAC = 45^\circ$, означают, что точка $C$ является образом точки $B$ при повороте вокруг точки $A$ на угол $45^\circ$ (или $-45^\circ$).

Рассмотрим поворот $R$ вокруг точки $A$ на угол $45^\circ$ против часовой стрелки. Так как точка $B$ лежит на окружности $\omega$, ее образ $C = R(B)$ должен лежать на образе окружности $\omega$, то есть на окружности $\omega' = R(\omega)$. По условию, точка $C$ также лежит на прямой $l$. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения прямой $l$ и окружности $\omega'$.

Это приводит к следующему плану построения:

1. Строим образ окружности. Поворачиваем данную окружность $\omega$ вокруг точки $A$ на $45^\circ$ против часовой стрелки. Для этого:
   1. Находим центр $O$ и радиус $r$ окружности $\omega$.
   2. Строим точку $O'$, которая является образом точки $O$ при повороте вокруг $A$ на $45^\circ$.
   3. Строим новую окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$.
2. Находим вершину $C$. Находим точки пересечения построенной окружности $\omega'$ и данной прямой $l$. Любая из этих точек может быть вершиной $C$. Если пересечения нет, то для данного направления поворота решения не существует. Выберем одну из точек пересечения и обозначим её $C$.
3. Находим вершину $B$. Так как $C$ — образ $B$ при повороте на $45^\circ$, то $B$ — это образ $C$ при обратном повороте (на $45^\circ$ по часовой стрелке). Строим точку $B$, поворачивая точку $C$ вокруг $A$ на $45^\circ$ по часовой стрелке. По построению, точка $B$ будет лежать на исходной окружности $\omega$.
4. Строим треугольник. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Примечание: в общем случае задача может иметь до четырёх решений, так как поворот можно совершать в двух направлениях (по и против часовой стрелки), и в каждом случае прямая может пересекать повернутую окружность в двух точках.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится по приведённому алгоритму.

Самостоятельная работа № 23

Гомотетия. Подобие фигур

1. Стороны двух правильных пятиугольников относятся как $3 : 4$, а площадь меньшего из них равна $99 \text{ см}^2$. Найдите площадь большего пятиугольника.

2. Отметьте точки $E$ и $F$. Найдите такую точку $D$, чтобы точка $E$ была образом точки $F$ при гомотетии с центром $D$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = \frac{1}{2}$;

2) $k = -3$.

3. Даны прямая $n$, точка $K$ и окружность с центром в точке $O$ (рис. 16). Через точку $K$ проведите прямую, пересекающую окружность и прямую $n$ в точках $M$ и $P$ соответственно так, чтобы $MK : KP = 3 : 1$.

Рис. 16

1. Обозначим стороны меньшего и большего правильных пятиугольников как $a_1$ и $a_2$ соответственно, а их площади — как $S_1$ и $S_2$.

По условию, отношение сторон $a_1 : a_2 = 3 : 4$. Все правильные пятиугольники подобны, и отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия $k$ равен отношению сторон:

$k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4}{3}$

Отношение площадей будет:

$\frac{S_2}{S_1} = k^2 = (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$

Площадь меньшего пятиугольника известна: $S_1 = 99$ см². Найдем площадь большего пятиугольника $S_2$:

$S_2 = S_1 \cdot \frac{16}{9} = 99 \cdot \frac{16}{9} = 11 \cdot 16 = 176$ см².

Ответ: 176 см².

2. По определению гомотетии, если точка $E$ является образом точки $F$ при гомотетии с центром $D$ и коэффициентом $k$, то выполняется векторное равенство $\vec{DE} = k \cdot \vec{DF}$. Это означает, что точки $D$, $E$, $F$ лежат на одной прямой.

1) $k = \frac{1}{2}$

В этом случае равенство принимает вид $\vec{DE} = \frac{1}{2}\vec{DF}$. Поскольку коэффициент $k = 1/2$ положителен, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ сонаправлены. Это значит, что точка $E$ лежит между точками $D$ и $F$. Из равенства длин $DE = \frac{1}{2}DF$ следует, что $E$ — середина отрезка $DF$. Чтобы найти точку $D$, зная $E$ и $F$, необходимо на прямой, проходящей через $E$ и $F$, отложить от точки $E$ в сторону, противоположную точке $F$, отрезок $ED$, равный по длине отрезку $EF$.

Ответ: Точка $D$ расположена на прямой $EF$ таким образом, что $E$ является серединой отрезка $DF$.

2) $k = -3$

В этом случае равенство принимает вид $\vec{DE} = -3\vec{DF}$. Поскольку коэффициент $k = -3$ отрицателен, векторы $\vec{DE}$ и $\vec{DF}$ направлены в противоположные стороны. Это значит, что центр гомотетии, точка $D$, лежит между точками $E$ и $F$. Равенство длин векторов имеет вид $DE = |-3| \cdot DF = 3DF$. Таким образом, точка $D$ лежит на отрезке $EF$ и делит его в отношении $DE : DF = 3:1$.

Ответ: Точка $D$ лежит на отрезке $EF$ и делит его в отношении $DE:DF = 3:1$.

3. Для решения этой задачи используется метод гомотетии. Пусть искомая прямая, проходящая через точку $K$, пересекает окружность в точке $M$, а прямую $n$ — в точке $P$. По условию, соотношение длин отрезков $MK : KP = 3 : 1$, что эквивалентно $MK = 3KP$.

Это соотношение можно рассматривать как результат гомотетии с центром в точке $K$, которая преобразует одну из точек ($M$ или $P$) в другую. Рассмотрим гомотетию, переводящую точку $M$ в точку $P$.

Возможны два случая:

1. Точка $P$ лежит на отрезке $KM$. В этом случае векторы $\vec{KP}$ и $\vec{KM}$ сонаправлены, и из $MK = 3KP$ следует, что $\vec{KP} = \frac{1}{3}\vec{KM}$. Это гомотетия $H_1$ с центром $K$ и коэффициентом $k_1 = 1/3$.
2. Точка $K$ лежит на отрезке $MP$. В этом случае векторы $\vec{KP}$ и $\vec{KM}$ противоположно направлены, и из $MK = 3KP$ следует, что $\vec{KP} = -\frac{1}{3}\vec{KM}$. Это гомотетия $H_2$ с центром $K$ и коэффициентом $k_2 = -1/3$.

Поскольку точка $M$ по условию лежит на данной окружности (обозначим её $\omega$), её образ — точка $P$ — должна лежать на образе окружности $\omega$ при соответствующей гомотетии. Образом окружности при гомотетии является окружность. Также известно, что точка $P$ лежит на прямой $n$. Следовательно, искомые точки $P$ можно найти как пересечение прямой $n$ с образами исходной окружности.

План построения:

Для гомотетии $H_1(K, k_1 = 1/3)$:

• Находим образ $\omega_1$ окружности $\omega$. Центр $O_1$ окружности $\omega_1$ является образом центра $O$ исходной окружности, т.е. $\vec{KO_1} = \frac{1}{3}\vec{KO}$. Радиус $R_1$ окружности $\omega_1$ равен $R_1 = |k_1|R = \frac{1}{3}R$, где $R$ — радиус $\omega$.
• Строим окружность $\omega_1(O_1, R_1)$.
• Находим точки пересечения окружности $\omega_1$ и прямой $n$. Пусть это точки $P_1$ и $P_2$.
• Прямые $KP_1$ и $KP_2$ являются решениями задачи.

Для гомотетии $H_2(K, k_2 = -1/3)$:

• Находим образ $\omega_2$ окружности $\omega$. Центр $O_2$ окружности $\omega_2$ является образом центра $O$, т.е. $\vec{KO_2} = -\frac{1}{3}\vec{KO}$. Радиус $R_2$ окружности $\omega_2$ равен $R_2 = |k_2|R = \frac{1}{3}R$.
• Строим окружность $\omega_2(O_2, R_2)$.
• Находим точки пересечения окружности $\omega_2$ и прямой $n$. Пусть это точки $P_3$ и $P_4$.
• Прямые $KP_3$ и $KP_4$ также являются решениями задачи.

В зависимости от взаимного расположения исходных фигур, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Искомая прямая (или прямые) строится путем соединения точки $K$ с точками пересечения прямой $n$ и двух вспомогательных окружностей. Первая вспомогательная окружность является образом данной при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом $k=1/3$, а вторая — при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом $k=-1/3$.