Страница 43 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 24

Прямая призма. Пирамида

1. Каждое ребро прямой четырёхугольной призмы равно 4 см, а один из углов основания — $60^{\circ}$. Найдите площадь поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является треугольник $ABC$, $AB = BC = 20$ см, $AC = 16$ см. Найдите объём пирамиды, если её высота равна 6 см.

3. Основанием прямой призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции равна 6 см, острый угол — $30^{\circ}$, а боковое ребро призмы равно 7 см. Найдите объём призмы.

1.

Площадь полной поверхности призмы $S_{полн}$ вычисляется по формуле $S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $S_{бок}$ — площадь боковой поверхности.

Так как все ребра прямой четырехугольной призмы равны 4 см, то в основании лежит ромб со стороной $a = 4$ см, а высота призмы $h$ (боковое ребро) также равна 4 см.

Найдем площадь основания. Основание — ромб со стороной $a = 4$ см и углом $\alpha = 60°$. Площадь ромба вычисляется по формуле $S_{осн} = a^2 \sin(\alpha)$.

$S_{осн} = 4^2 \sin(60°) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ см².

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания $P_{осн}$ на высоту призмы $h$.

Периметр основания (ромба) $P_{осн} = 4a = 4 \cdot 4 = 16$ см.

Высота призмы $h = 4$ см.

$S_{бок} = P_{осн} \cdot h = 16 \cdot 4 = 64$ см².

Теперь найдем площадь полной поверхности призмы:

$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 8\sqrt{3} + 64 = 16\sqrt{3} + 64 = 16(4 + \sqrt{3})$ см².

Ответ: $16(4 + \sqrt{3})$ см².

2.

Объем пирамиды $V$ вычисляется по формуле $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Высота пирамиды дана по условию: $h = 6$ см.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник ABC со сторонами $AB = BC = 20$ см и $AC = 16$ см. Найдем его площадь.

Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. По теореме Пифагора:

$BH^2 + HC^2 = BC^2$

$BH^2 + 8^2 = 20^2$

$BH^2 + 64 = 400$

$BH^2 = 400 - 64 = 336$

$BH = \sqrt{336} = \sqrt{16 \cdot 21} = 4\sqrt{21}$ см.

Площадь основания $S_{осн}$ равна:

$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4\sqrt{21} = 8 \cdot 4\sqrt{21} = 32\sqrt{21}$ см².

Теперь вычислим объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 32\sqrt{21} \cdot 6 = 32\sqrt{21} \cdot 2 = 64\sqrt{21}$ см³.

Ответ: $64\sqrt{21}$ см³.

3.

Объем прямой призмы $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота призмы (длина бокового ребра).

Высота призмы дана по условию: $h = 7$ см.

Основанием призмы является равнобокая трапеция, в которую можно вписать окружность. Боковая сторона трапеции $c = 6$ см, острый угол $\alpha = 30°$.

Найдем площадь основания. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трап}$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, а $h_{трап}$ — ее высота.

По свойству четырехугольника, в который можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции это означает, что сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a + b = c + c = 2c$.

$a + b = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{трап}$. Проведем высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c = 6$ см, а одним из острых углов — угол $\alpha = 30°$. Высота трапеции $h_{трап}$ является катетом, противолежащим этому углу.

$h_{трап} = c \cdot \sin(\alpha) = 6 \cdot \sin(30°) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{трап} = \frac{12}{2} \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$ см².

Вычислим объем призмы:

$V = S_{осн} \cdot h = 18 \cdot 7 = 126$ см³.

Ответ: $126$ см³.

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота — 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Высота конуса равна 24 см, а образующая — 25 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Площадь поверхности шара уменьшили в 25 раз. Во сколько раз уменьшился его объём?

1. Дано: радиус основания цилиндра $r = 3$ см, высота $h = 4$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле, которая складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h)$.
Подставим известные значения в формулу:
$S_{полн} = 2 \pi \cdot 3 (3 + 4) = 6 \pi \cdot 7 = 42 \pi$ см².
Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.
Подставим известные значения:
$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36 \pi$ см³.
Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $42 \pi$ см², а объём равен $36 \pi$ см³.

2. Дано: высота конуса $h = 24$ см, образующая $l = 25$ см.
Для нахождения объёма и площади боковой поверхности нам необходимо сначала найти радиус основания конуса $r$. Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.
Выразим и найдем радиус: $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$ см.
Теперь вычислим объём конуса по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 7^2 \cdot 24 = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 24 = \pi \cdot 49 \cdot 8 = 392 \pi$ см³.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.
$S_{бок} = \pi \cdot 7 \cdot 25 = 175 \pi$ см².
Ответ: объём конуса равен $392 \pi$ см³, а площадь его боковой поверхности равна $175 \pi$ см².

3. Площадь поверхности шара $S$ и его объём $V$ зависят от его радиуса $R$ следующими формулами:
$S = 4 \pi R^2$
$V = \frac{4}{3} \pi R^3$
Пусть $S_1$ и $R_1$ — начальные площадь поверхности и радиус, а $S_2$ и $R_2$ — конечные. По условию, площадь поверхности уменьшилась в 25 раз, то есть $\frac{S_1}{S_2} = 25$.
Выразим это отношение через радиусы:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi R_1^2}{4 \pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$.
Так как $(\frac{R_1}{R_2})^2 = 25$, то отношение радиусов равно $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{25} = 5$. Это значит, что радиус шара уменьшился в 5 раз.
Теперь найдем, во сколько раз уменьшился объём, то есть найдем отношение $\frac{V_1}{V_2}$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3$.
Подставим найденное отношение радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = 5^3 = 125$.
Следовательно, объём шара уменьшился в 125 раз.
Ответ: объём шара уменьшился в 125 раз.