Страница 37 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 8

Расстояние между двумя точками

с данными координатами.

Деление отрезка в данном отношении

1. На оси ординат найдите точку, равноудалённую от точек $A(-3; 1)$ и $B(-5; -3)$.

2. Четырёхугольник $ABCD$ — параллелограмм, $B(-2; 7)$, $C(3; -2)$, $D(4; 3)$. Найдите длину диагонали $AC$.

3. Точки $A(-3; -5)$, $B(1; -8)$ и $C(6; 7)$ — вершины треугольника $ABC$. Найдите координаты точки пересечения биссектрисы угла $BAC$ со стороной $BC$.

1.

Пусть искомая точка $M$ лежит на оси ординат. Координаты такой точки имеют вид $M(0; y)$.

Расстояние между двумя точками $P_1(x_1; y_1)$ и $P_2(x_2; y_2)$ вычисляется по формуле: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

По условию точка $M$ равноудалена от точек $A(-3; 1)$ и $B(-5; -3)$, следовательно, расстояние $MA$ равно расстоянию $MB$. Удобнее работать с квадратами расстояний, чтобы избежать корней: $MA^2 = MB^2$.

Найдем квадрат расстояния $MA^2$:

$MA^2 = (0 - (-3))^2 + (y - 1)^2 = 3^2 + (y - 1)^2 = 9 + y^2 - 2y + 1 = y^2 - 2y + 10$.

Найдем квадрат расстояния $MB^2$:

$MB^2 = (0 - (-5))^2 + (y - (-3))^2 = 5^2 + (y + 3)^2 = 25 + y^2 + 6y + 9 = y^2 + 6y + 34$.

Приравняем квадраты расстояний и решим уравнение относительно $y$:

$y^2 - 2y + 10 = y^2 + 6y + 34$

$-2y - 6y = 34 - 10$

$-8y = 24$

$y = -3$

Таким образом, искомая точка на оси ординат имеет координаты $(0; -3)$.

Ответ: $(0; -3)$.

2.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$.

Пусть координаты точки $A$ равны $(x_A; y_A)$. Координаты середины отрезка находятся как полусумма соответствующих координат его концов.

Найдем координаты середины диагонали $BD$, используя координаты точек $B(-2; 7)$ и $D(4; 3)$. Пусть это будет точка $O(x_O; y_O)$:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$

Таким образом, точка пересечения диагоналей $O$ имеет координаты $(1; 5)$.

Точка $O$ также является серединой диагонали $AC$. Используя координаты точки $C(3; -2)$, найдем координаты точки $A(x_A; y_A)$:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 1 = \frac{x_A + 3}{2} \implies 2 = x_A + 3 \implies x_A = -1$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies 5 = \frac{y_A + (-2)}{2} \implies 10 = y_A - 2 \implies y_A = 12$

Итак, координаты вершины $A$ равны $(-1; 12)$.

Теперь найдем длину диагонали $AC$, используя координаты точек $A(-1; 12)$ и $C(3; -2)$:

$AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 12)^2} = \sqrt{4^2 + (-14)^2} = \sqrt{16 + 196} = \sqrt{212}$.

Упростим корень: $212 = 4 \cdot 53$.

$AC = \sqrt{4 \cdot 53} = 2\sqrt{53}$.

Ответ: $2\sqrt{53}$.

3.

Пусть $AL$ — биссектриса угла $BAC$, где точка $L$ лежит на стороне $BC$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$

Найдем длины сторон $AB$ и $AC$, используя координаты вершин $A(-3; -5)$, $B(1; -8)$ и $C(6; 7)$.

Длина стороны $AB$:

$AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-8 - (-5))^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.

Длина стороны $AC$:

$AC = \sqrt{(6 - (-3))^2 + (7 - (-5))^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$.

Теперь найдем отношение, в котором точка $L$ делит отрезок $BC$:

$\frac{BL}{LC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Координаты точки $L(x_L; y_L)$, делящей отрезок $BC$ в отношении $\lambda = \frac{1}{3}$, можно найти по формулам:

$x_L = \frac{x_B + \lambda x_C}{1 + \lambda}$

$y_L = \frac{y_B + \lambda y_C}{1 + \lambda}$

Подставим координаты точек $B(1; -8)$, $C(6; 7)$ и значение $\lambda = 1/3$:

$x_L = \frac{1 + \frac{1}{3} \cdot 6}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{1 + 2}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{\frac{4}{3}} = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$y_L = \frac{-8 + \frac{1}{3} \cdot 7}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-8 + \frac{7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{\frac{-24+7}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{-\frac{17}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{17}{4}$

Таким образом, координаты точки пересечения биссектрисы со стороной $BC$ равны $(\frac{9}{4}; -\frac{17}{4})$.

Ответ: $(\frac{9}{4}; -\frac{17}{4})$.

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 - 10x + 2y - 15 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $N (-12; -2)$, если центр окружности принадлежит оси ординат, а радиус равен 15.

3. Дана окружность $(x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 225$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1 (-11; -3)$, которая касается данной окружности.

1.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности. Для этого используем метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 10x + 2y - 15 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 2y) - 15 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого используем формулы $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для слагаемых с $x$: $x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $5^2 = 25$.
$x^2 - 10x + 25 - 25 = (x - 5)^2 - 25$.

Для слагаемых с $y$: $y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $1^2 = 1$.
$y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x - 5)^2 - 25 + (y + 1)^2 - 1 - 15 = 0$.

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:

$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 25 + 1 + 15$

$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 41$.

Это уравнение является каноническим уравнением окружности, так как $R^2 = 41 > 0$.
Сравнивая с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, находим:
Координаты центра: $(a; b) = (5; -1)$.
Радиус: $R = \sqrt{41}$.

Ответ: Уравнение $(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 41$ является уравнением окружности с центром в точке $(5; -1)$ и радиусом $R = \sqrt{41}$.

2.

Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, центр окружности принадлежит оси ординат (оси OY). Это значит, что абсцисса центра равна нулю: $a = 0$. Таким образом, центр имеет координаты $(0; b)$.

Радиус окружности равен $R = 15$.

Подставив известные значения в каноническое уравнение, получим:

$(x - 0)^2 + (y - b)^2 = 15^2$

$x^2 + (y - b)^2 = 225$.

Окружность проходит через точку $N(-12; -2)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим $x = -12$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти $b$:

$(-12)^2 + (-2 - b)^2 = 225$

$144 + (-2 - b)^2 = 225$

$(-2 - b)^2 = 225 - 144$

$(-2 - b)^2 = 81$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1) $-2 - b = 9 \implies -b = 11 \implies b = -11$.

2) $-2 - b = -9 \implies -b = -7 \implies b = 7$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1) Центр $(0; -11)$, радиус 15. Уравнение: $x^2 + (y - (-11))^2 = 225 \implies x^2 + (y + 11)^2 = 225$.

2) Центр $(0; 7)$, радиус 15. Уравнение: $x^2 + (y - 7)^2 = 225$.

Ответ: $x^2 + (y + 11)^2 = 225$ или $x^2 + (y - 7)^2 = 225$.

3.

Найдем параметры данной окружности из её уравнения $(x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 225$.

Центр первой окружности (назовем ее $O$) имеет координаты $O(1; -8)$.

Радиус первой окружности $R = \sqrt{225} = 15$.

Центр второй (искомой) окружности $O_1$ имеет координаты $O_1(-11; -3)$. Обозначим её радиус как $R_1$.

Условие касания двух окружностей означает, что расстояние между их центрами равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание).

Найдем расстояние $d$ между центрами $O$ и $O_1$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

$d = \sqrt{(1 - (-11))^2 + (-8 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 11)^2 + (-8 + 3)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Расстояние между центрами $d = 13$. Сравним это расстояние с радиусом первой окружности $R = 15$. Так как $d < R$ ($13 < 15$), центр второй окружности $O_1$ находится внутри первой окружности. Это означает, что касание может быть только внутренним.

Условие внутреннего касания: $d = |R - R_1|$.

$13 = |15 - R_1|$.

Это равенство распадается на два случая:

1) $15 - R_1 = 13 \implies R_1 = 15 - 13 = 2$.

2) $15 - R_1 = -13 \implies R_1 = 15 + 13 = 28$.

Оба значения для радиуса $R_1$ положительны, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Составим их уравнения:

1) Центр $O_1(-11; -3)$, радиус $R_1 = 2$.
Уравнение: $(x - (-11))^2 + (y - (-3))^2 = 2^2 \implies (x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

2) Центр $O_1(-11; -3)$, радиус $R_1 = 28$.
Уравнение: $(x - (-11))^2 + (y - (-3))^2 = 28^2 \implies (x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 784$.

Ответ: $(x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 4$ или $(x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 784$.

Самостоятельная работа № 10
Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:
1) C (7; -2) и D (4; -2);
2) M (-7; 5) и K (-7; -2);
3) A (2; -5) и B (-1; 2).

2. Докажите, что окружность $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 37$ и прямая $x - y = 2$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 13 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 10.

1) Даны точки $C(7; -2)$ и $D(4; -2)$.
Поскольку ординаты (координаты $y$) этих точек одинаковы и равны $-2$, прямая, проходящая через эти точки, является горизонтальной, параллельной оси абсцисс.
Ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — постоянная величина. В данном случае $c = -2$.
Таким образом, уравнение прямой: $y = -2$.
Ответ: $y = -2$.

2) Даны точки $M(-7; 5)$ и $K(-7; -2)$.
Поскольку абсциссы (координаты $x$) этих точек одинаковы и равны $-7$, прямая, проходящая через эти точки, является вертикальной, параллельной оси ординат.
Ее уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — постоянная величина. В данном случае $c = -7$.
Таким образом, уравнение прямой: $x = -7$.
Ответ: $x = -7$.

3) Даны точки $A(2; -5)$ и $B(-1; 2)$.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
Подставим координаты точек A и B:
$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - (-5)}{2 - (-5)}$
$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y + 5}{7}$
Используя свойство пропорции, перемножим крест-накрест:
$7(x - 2) = -3(y + 5)$
$7x - 14 = -3y - 15$
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$:
$7x + 3y - 14 + 15 = 0$
$7x + 3y + 1 = 0$
Ответ: $7x + 3y + 1 = 0$.

2. Дана окружность $(x-5)^2 + (y+4)^2 = 37$ и прямая $x - y = 2$.
Доказательство пересечения:
Центр окружности находится в точке $O(5; -4)$, а ее радиус $R = \sqrt{37}$.
Найдем расстояние $d$ от центра окружности до прямой $x - y - 2 = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
$d = \frac{|1 \cdot 5 + (-1) \cdot (-4) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 + 4 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$.
Сравним квадрат расстояния $d^2$ с квадратом радиуса $R^2$:
$d^2 = (\frac{7}{\sqrt{2}})^2 = \frac{49}{2} = 24.5$.
$R^2 = (\sqrt{37})^2 = 37$.
Поскольку $d^2 < R^2$ (т.е. $24.5 < 37$), расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках.

Нахождение координат точек пересечения:
Для этого необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} (x-5)^2 + (y+4)^2 = 37 \\ x - y = 2 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$((y+2)-5)^2 + (y+4)^2 = 37$
$(y-3)^2 + (y+4)^2 = 37$
Раскроем скобки:
$(y^2 - 6y + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 37$
$2y^2 + 2y + 25 = 37$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$y^2 + y - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = y + 2$:
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 = 4$. Первая точка пересечения: $(4; 2)$.
2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Вторая точка пересечения: $(-1; -3)$.
Ответ: Прямая и окружность пересекаются, точки пересечения: $(4; 2)$ и $(-1; -3)$.

3. Пусть центр искомой окружности имеет координаты $(x_c; y_c)$. Радиус окружности по условию $R=13$. Окружность отсекает на оси абсцисс (прямая $y=0$) хорду длиной 10.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют:

• гипотенуза — радиус, проведенный к одному из концов хорды (длина $R=13$);
• первый катет — перпендикуляр, опущенный из центра окружности на ось абсцисс. Его длина равна модулю ординаты центра, т.е. $|y_c|$;
• второй катет — половина длины хорды, т.е. $10 / 2 = 5$.

По теореме Пифагора:
$|y_c|^2 + 5^2 = 13^2$
$y_c^2 + 25 = 169$
$y_c^2 = 169 - 25$
$y_c^2 = 144$
Отсюда $y_c = \pm\sqrt{144}$, то есть $y_c = 12$ или $y_c = -12$.
Координата $x_c$ центра может быть любой, так как условие накладывается только на положение окружности относительно оси $x$.
Следовательно, геометрическое место центров таких окружностей — это две прямые, параллельные оси абсцисс, задаваемые уравнениями $y = 12$ и $y = -12$.
Ответ: $y = 12$ и $y = -12$.