Номер 9, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 - 10x + 2y - 15 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $N (-12; -2)$, если центр окружности принадлежит оси ординат, а радиус равен 15.

3. Дана окружность $(x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 225$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1 (-11; -3)$, которая касается данной окружности.

1.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности. Для этого используем метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 - 10x + 2y - 15 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 - 10x) + (y^2 + 2y) - 15 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого используем формулы $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для слагаемых с $x$: $x^2 - 10x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $5^2 = 25$.
$x^2 - 10x + 25 - 25 = (x - 5)^2 - 25$.

Для слагаемых с $y$: $y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить и вычесть $1^2 = 1$.
$y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(x - 5)^2 - 25 + (y + 1)^2 - 1 - 15 = 0$.

Перенесем свободные члены в правую часть уравнения:

$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 25 + 1 + 15$

$(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 41$.

Это уравнение является каноническим уравнением окружности, так как $R^2 = 41 > 0$.
Сравнивая с общей формулой $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, находим:
Координаты центра: $(a; b) = (5; -1)$.
Радиус: $R = \sqrt{41}$.

Ответ: Уравнение $(x - 5)^2 + (y + 1)^2 = 41$ является уравнением окружности с центром в точке $(5; -1)$ и радиусом $R = \sqrt{41}$.

2.

Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

По условию, центр окружности принадлежит оси ординат (оси OY). Это значит, что абсцисса центра равна нулю: $a = 0$. Таким образом, центр имеет координаты $(0; b)$.

Радиус окружности равен $R = 15$.

Подставив известные значения в каноническое уравнение, получим:

$(x - 0)^2 + (y - b)^2 = 15^2$

$x^2 + (y - b)^2 = 225$.

Окружность проходит через точку $N(-12; -2)$. Следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению окружности. Подставим $x = -12$ и $y = -2$ в полученное уравнение, чтобы найти $b$:

$(-12)^2 + (-2 - b)^2 = 225$

$144 + (-2 - b)^2 = 225$

$(-2 - b)^2 = 225 - 144$

$(-2 - b)^2 = 81$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два возможных случая:

1) $-2 - b = 9 \implies -b = 11 \implies b = -11$.

2) $-2 - b = -9 \implies -b = -7 \implies b = 7$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1) Центр $(0; -11)$, радиус 15. Уравнение: $x^2 + (y - (-11))^2 = 225 \implies x^2 + (y + 11)^2 = 225$.

2) Центр $(0; 7)$, радиус 15. Уравнение: $x^2 + (y - 7)^2 = 225$.

Ответ: $x^2 + (y + 11)^2 = 225$ или $x^2 + (y - 7)^2 = 225$.

3.

Найдем параметры данной окружности из её уравнения $(x - 1)^2 + (y + 8)^2 = 225$.

Центр первой окружности (назовем ее $O$) имеет координаты $O(1; -8)$.

Радиус первой окружности $R = \sqrt{225} = 15$.

Центр второй (искомой) окружности $O_1$ имеет координаты $O_1(-11; -3)$. Обозначим её радиус как $R_1$.

Условие касания двух окружностей означает, что расстояние между их центрами равно либо сумме их радиусов (внешнее касание), либо модулю разности их радиусов (внутреннее касание).

Найдем расстояние $d$ между центрами $O$ и $O_1$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

$d = \sqrt{(1 - (-11))^2 + (-8 - (-3))^2} = \sqrt{(1 + 11)^2 + (-8 + 3)^2} = \sqrt{12^2 + (-5)^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.

Расстояние между центрами $d = 13$. Сравним это расстояние с радиусом первой окружности $R = 15$. Так как $d < R$ ($13 < 15$), центр второй окружности $O_1$ находится внутри первой окружности. Это означает, что касание может быть только внутренним.

Условие внутреннего касания: $d = |R - R_1|$.

$13 = |15 - R_1|$.

Это равенство распадается на два случая:

1) $15 - R_1 = 13 \implies R_1 = 15 - 13 = 2$.

2) $15 - R_1 = -13 \implies R_1 = 15 + 13 = 28$.

Оба значения для радиуса $R_1$ положительны, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Составим их уравнения:

1) Центр $O_1(-11; -3)$, радиус $R_1 = 2$.
Уравнение: $(x - (-11))^2 + (y - (-3))^2 = 2^2 \implies (x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 4$.

2) Центр $O_1(-11; -3)$, радиус $R_1 = 28$.
Уравнение: $(x - (-11))^2 + (y - (-3))^2 = 28^2 \implies (x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 784$.

Ответ: $(x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 4$ или $(x + 11)^2 + (y + 3)^2 = 784$.