Номер 2, страница 34 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как $5 : 8$, а угол между ними составляет $60^\circ$. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен $40$ см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB = BC = 7$ см, $AD = 3$ см, $CD = 5$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Основание равнобедренного треугольника равно $6$ см, а боковая сторона — $2\sqrt{7}$ см. Найдите медиану треугольника, проведённую к его боковой стороне.

1. Пусть две стороны треугольника, отношение которых равно 5:8, равны $a = 5x$ и $b = 8x$, где $x$ — некоторый коэффициент. Угол между этими сторонами по условию равен $60^\circ$.
Третью сторону $c$ найдем, используя теорему косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(60^\circ)$
Подставим известные значения и учтём, что $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$:
$c^2 = (5x)^2 + (8x)^2 - 2(5x)(8x) \cdot \frac{1}{2}$
$c^2 = 25x^2 + 64x^2 - 40x^2$
$c^2 = 49x^2$
$c = 7x$ (так как длина стороны должна быть положительной).
Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. По условию $P = 40$ см.
$P = a + b + c = 5x + 8x + 7x = 20x$
$20x = 40$
$x = 2$
Теперь вычислим длины сторон:
$a = 5 \cdot 2 = 10$ см.
$b = 8 \cdot 2 = 16$ см.
$c = 7 \cdot 2 = 14$ см.
Ответ: 10 см, 14 см, 16 см.

2. Если около четырёхугольника можно описать окружность, то такой четырёхугольник является вписанным. Основное свойство вписанного четырёхугольника заключается в том, что сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.
Пусть $\angle DAB = \alpha$. Тогда противолежащий ему угол $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$.
Рассмотрим диагональ $BD$. Она разделяет четырёхугольник на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.
Применим теорему косинусов для $\triangle ABD$, чтобы выразить квадрат диагонали $BD$:
$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\alpha)$
$BD^2 = 7^2 + 3^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot \cos(\alpha)$
$BD^2 = 49 + 9 - 42 \cos(\alpha) = 58 - 42 \cos(\alpha)$.
Теперь применим теорему косинусов для $\triangle BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$
Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:
$BD^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot (-\cos(\alpha))$
$BD^2 = 49 + 25 + 70 \cos(\alpha) = 74 + 70 \cos(\alpha)$.
Теперь у нас есть два выражения для $BD^2$. Приравняем их, чтобы найти $\cos(\alpha)$:
$58 - 42 \cos(\alpha) = 74 + 70 \cos(\alpha)$
$58 - 74 = 70 \cos(\alpha) + 42 \cos(\alpha)$
$-16 = 112 \cos(\alpha)$
$\cos(\alpha) = -\frac{16}{112} = -\frac{1}{7}$.
Подставим найденное значение $\cos(\alpha)$ в любое из выражений для $BD^2$ (например, в первое):
$BD^2 = 58 - 42 \left(-\frac{1}{7}\right) = 58 + 6 = 64$.
$BD = \sqrt{64} = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. Пусть дан равнобедренный треугольник $\triangle ABC$ с основанием $AC = 6$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 2\sqrt{7}$ см. Требуется найти медиану, проведённую к боковой стороне, например, медиану $AM$ к стороне $BC$.
По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $MC = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{7} = \sqrt{7}$ см.
Для нахождения длины медианы $AM$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $\triangle AMC$. Для этого нам нужно знать $\cos(\angle C)$.
Найдем $\cos(\angle C)$ из треугольника $\triangle ABC$ по теореме косинусов, применив ее к стороне $AB$, противолежащей углу $C$:
$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(\angle C)$
$(2\sqrt{7})^2 = 6^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{7} \cdot \cos(\angle C)$
$28 = 36 + 28 - 24\sqrt{7} \cos(\angle C)$
$0 = 36 - 24\sqrt{7} \cos(\angle C)$
$24\sqrt{7} \cos(\angle C) = 36$
$\cos(\angle C) = \frac{36}{24\sqrt{7}} = \frac{3}{2\sqrt{7}}$.
Теперь применим теорему косинусов к $\triangle AMC$ для нахождения стороны $AM$ (медианы):
$AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos(\angle C)$
$AM^2 = 6^2 + (\sqrt{7})^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{7} \cdot \frac{3}{2\sqrt{7}}$
$AM^2 = 36 + 7 - 18$
$AM^2 = 25$
$AM = 5$ см.
Ответ: 5 см.