Номер 25, страница 33 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота — 8 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Радиус основания конуса равен 12 см, а высота — 9 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Объём шара увеличили в 1000 раз. Во сколько раз увеличилась площадь его поверхности?

1.

Дано: радиус основания цилиндра $r = 5$ см, высота $h = 8$ см.

Площадь полной поверхности цилиндра.
Площадь полной поверхности цилиндра ($S_{полн}$) равна сумме площади его боковой поверхности ($S_{бок}$) и удвоенной площади основания ($S_{осн}$), так как у цилиндра два основания.

Площадь основания (круга) вычисляется по формуле:
$S_{осн} = \pi r^2$
$S_{осн} = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 = 25\pi \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле (длина окружности основания, умноженная на высоту):
$S_{бок} = 2\pi r h$
$S_{бок} = 2\pi \cdot 5 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} = 80\pi \text{ см}^2$.

Теперь найдем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = 80\pi + 2 \cdot 25\pi = 80\pi + 50\pi = 130\pi \text{ см}^2$.

Объём цилиндра.
Объём цилиндра ($V$) вычисляется как произведение площади основания на высоту:
$V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$
$V = \pi \cdot (5 \text{ см})^2 \cdot 8 \text{ см} = \pi \cdot 25 \text{ см}^2 \cdot 8 \text{ см} = 200\pi \text{ см}^3$.

Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $130\pi \text{ см}^2$, а объём равен $200\pi \text{ см}^3$.

2.

Дано: радиус основания конуса $r = 12$ см, высота $h = 9$ см.

Объём конуса.
Объём конуса ($V$) вычисляется по формуле:
$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
$V = \frac{1}{3}\pi \cdot (12 \text{ см})^2 \cdot 9 \text{ см} = \frac{1}{3}\pi \cdot 144 \text{ см}^2 \cdot 9 \text{ см} = \pi \cdot 144 \cdot 3 \text{ см}^3 = 432\pi \text{ см}^3$.

Площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$, где $l$ — длина образующей конуса.

Образующую $l$ можно найти по теореме Пифагора, так как она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются радиус основания $r$ и высота конуса $h$.
$l^2 = r^2 + h^2$
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{(12 \text{ см})^2 + (9 \text{ см})^2} = \sqrt{144 \text{ см}^2 + 81 \text{ см}^2} = \sqrt{225 \text{ см}^2} = 15 \text{ см}$.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = \pi \cdot 12 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} = 180\pi \text{ см}^2$.

Ответ: объём конуса равен $432\pi \text{ см}^3$, площадь его боковой поверхности равна $180\pi \text{ см}^2$.

3.

Пусть начальный радиус шара — $R_1$, начальный объём — $V_1$, а начальная площадь поверхности — $S_1$.
После увеличения радиус стал $R_2$, объём — $V_2$, а площадь поверхности — $S_2$.

Объём шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, а площадь его поверхности — по формуле $S = 4\pi R^2$.

Из условия задачи известно, что объём увеличился в 1000 раз:
$V_2 = 1000 \cdot V_1$.

Подставим формулы для объёмов:
$\frac{4}{3}\pi R_2^3 = 1000 \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3$.

Сократив обе части уравнения на $\frac{4}{3}\pi$, получим соотношение для кубов радиусов:
$R_2^3 = 1000 \cdot R_1^3$.

Извлечем кубический корень из обеих частей, чтобы найти, как изменился радиус:
$R_2 = \sqrt[3]{1000} \cdot R_1 = 10 R_1$.
Таким образом, радиус шара увеличился в 10 раз.

Теперь найдем, во сколько раз увеличилась площадь поверхности. Для этого найдем отношение $S_2$ к $S_1$:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{4\pi R_2^2}{4\pi R_1^2} = \frac{R_2^2}{R_1^2} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2$.

Так как мы уже знаем, что $\frac{R_2}{R_1} = 10$, подставим это значение в отношение площадей:
$\frac{S_2}{S_1} = (10)^2 = 100$.

Следовательно, площадь поверхности шара увеличилась в 100 раз.

Ответ: площадь его поверхности увеличилась в 100 раз.