Номер 19, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $A (-5; 2)$ будет точка $B (3; -1)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $B$ будет точка $A$.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $3x + 5y = 2$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку $A (-2; 1)$.

3. Даны луч, прямая и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали данному лучу и данной прямой.

Пусть вектор параллельного переноса, переводящий точку $A(x_A; y_A)$ в точку $B(x_B; y_B)$, имеет координаты $\vec{p} = (a; b)$. Координаты этого вектора находятся по формулам: $a = x_B - x_A$ и $b = y_B - y_A$.

Найдем вектор $\vec{p_1}$, при параллельном переносе на который образом точки $A(–5; 2)$ будет точка $B(3; –1)$. $a_1 = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$ $b_1 = -1 - 2 = -3$ Следовательно, искомый вектор $\vec{p_1} = (8; -3)$.

Найдем вектор $\vec{p_2}$, при параллельном переносе на который образом точки $B(3; –1)$ будет точка $A(–5; 2)$. $a_2 = -5 - 3 = -8$ $b_2 = 2 - (-1) = 2 + 1 = 3$ Следовательно, искомый вектор $\vec{p_2} = (-8; 3)$. Заметим, что $\vec{p_2} = -\vec{p_1}$.

Ответ: вектор переноса из A в B: $(8; -3)$; вектор переноса из B в A: $(-8; 3)$.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение прямой, параллельной данной прямой $3x + 5y = 2$, имеет вид $3x + 5y = C$, где $C$ — некоторое число.

Так как полученная прямая проходит через точку $A(–2; 1)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой. Подставим координаты точки $A$ в уравнение $3x + 5y = C$: $3 \cdot (–2) + 5 \cdot 1 = C$ $-6 + 5 = C$ $C = -1$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $3x + 5y = -1$.

Ответ: $3x + 5y = -1$.

Пусть даны луч $r$, прямая $l$ и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $MN$, равный и параллельный отрезку $AB$, концы которого $M$ и $N$ лежат на луче $r$ и прямой $l$ соответственно ($M \in r$, $N \in l$).

Условие, что отрезок $MN$ равен и параллелен отрезку $AB$, означает, что вектор $\vec{MN}$ должен быть равен либо вектору $\vec{AB}$, либо вектору $\vec{BA}$. Рассмотрим случай, когда $\vec{MN} = \vec{AB}$. Это означает, что точка $N$ является образом точки $M$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Поскольку точка $M$ должна лежать на луче $r$, ее образ, точка $N$, должна лежать на образе луча $r$ при том же параллельном переносе. Обозначим образ луча $r$ через $r'$. С другой стороны, точка $N$ по условию должна лежать на прямой $l$. Следовательно, точка $N$ является точкой пересечения прямой $l$ и образа луча $r'$, то есть $N = l \cap r'$.

Отсюда вытекает следующий алгоритм построения:

1. Строим образ луча $r$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Для этого: а) Выбираем начало луча $r$, точку $O$. б) Строим точку $O'$, являющуюся образом точки $O$ при переносе на вектор $\vec{AB}$ (т.е. $\vec{OO'} = \vec{AB}$). в) Через точку $O'$ проводим луч $r'$, параллельный и сонаправленный с лучом $r$.
2. Находим точку пересечения луча $r'$ и прямой $l$. Обозначим эту точку $N$. Если пересечения нет, то в данном направлении ($\vec{AB}$) решения нет.
3. Находим прообраз точки $N$, то есть точку $M$, которая при переносе на вектор $\vec{AB}$ переходит в $N$. Для этого выполняем обратный перенос: переносим точку $N$ на вектор $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Полученная точка $M$ будет лежать на исходном луче $r$.
4. Отрезок $MN$ является искомым.

Аналогичное построение можно выполнить для случая $\vec{MN} = \vec{BA}$, что может дать второе решение.

Ответ: Описание построения приведено выше.