Номер 22, страница 32 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $MN$ и точка $O$ (рис. 11). Постройте образ отрезка $MN$ при повороте на угол $120^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

2. Образом точки $M (-3; m)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ по часовой стрелке является точка $N (-5; n)$. Найдите $m$ и $n$.

3. Даны прямая, окружность и точка $C$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой. Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной в точке $C$ и углом при вершине, равным $30^\circ$, так, чтобы вершины $A$ и $B$ принадлежали соответственно данной окружности и данной прямой.

1. Чтобы построить образ отрезка MN при повороте на угол 120° вокруг центра O против часовой стрелки, необходимо выполнить поворот его концов — точек M и N — на заданный угол вокруг точки O. Полученные точки M' и N' будут концами искомого отрезка M'N'.

Построение выполняется следующим образом:

1. Соедините точку M с центром поворота O, получив отрезок OM.
2. С помощью транспортира отложите от луча OM угол, равный 120°, в направлении против часовой стрелки. Постройте луч OK так, чтобы $\angle MOK = 120°$.
3. С помощью циркуля измерьте расстояние OM. Отложите это расстояние на луче OK от точки O. Полученная точка M' является образом точки M. Таким образом, $OM = OM'$ и $\angle MOM' = 120°$.
4. Аналогично постройте образ точки N. Соедините точку N с центром O (отрезок ON).
5. Отложите от луча ON угол 120° против часовой стрелки, получив луч OL.
6. Отложите на луче OL от точки O отрезок ON', равный по длине отрезку ON. Точка N' — образ точки N.
7. Соедините точки M' и N'. Отрезок M'N' является образом отрезка MN при заданном повороте.

Ответ: Построение описано выше. Отрезок M'N' является искомым образом.

2. Поворот точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат на угол 90° по часовой стрелке (что эквивалентно повороту на -90° или 270° против часовой стрелки) переводит ее в точку с координатами $(y; -x)$.

В нашей задаче точка $M(-3; m)$ поворачивается в точку $N(-5; n)$. Исходные координаты: $x = -3$, $y = m$. Координаты образа после поворота: $(y; -x) = (m; -(-3)) = (m; 3)$.

По условию, образом является точка $N(-5; n)$. Сравним полученные координаты с координатами точки $N$:
$(m; 3) = (-5; n)$

Отсюда следует, что:
$m = -5$
$n = 3$

Ответ: $m = -5, n = 3$.

3. Задача состоит в том, чтобы найти такие точки $A$ на данной окружности и $B$ на данной прямой, чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным с вершиной в точке $C$ и углом $\angle ACB = 30°$.

Условия, что $\triangle ABC$ равнобедренный с вершиной $C$ и $\angle ACB = 30°$, означают, что $AC = BC$ и точка $B$ может быть получена из точки $A$ поворотом вокруг центра $C$ на угол 30°. Направление поворота может быть как по часовой стрелке, так и против. Рассмотрим один из случаев, например, поворот против часовой стрелки.

Обозначим данный поворот как $R_{C, 30°}$. По условию, точка $A$ лежит на данной окружности (обозначим ее $\omega$), а точка $B$ лежит на данной прямой (обозначим ее $l$). Так как $B$ является образом точки $A$ при повороте $R_{C, 30°}$, то $B = R_{C, 30°}(A)$. Если точка $A$ принадлежит окружности $\omega$, то ее образ, точка $B$, должна принадлежать образу этой окружности при том же повороте. Обозначим образ окружности $\omega$ как $\omega' = R_{C, 30°}(\omega)$. Окружность $\omega'$ будет иметь тот же радиус, что и $\omega$, а ее центр будет являться образом центра исходной окружности при повороте $R_{C, 30°}$.

Таким образом, точка $B$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой $l$ (по условию).
2. Она лежит на окружности $\omega'$ (как образ точки с окружности $\omega$).

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $l$ и построенной окружности $\omega'$. Найдя точку $B$, можно найти точку $A$ обратным поворотом $R_{C, -30°}$ (то есть на 30° по часовой стрелке) вокруг точки $C$.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $r$, прямая $l$ и точка $C$.
2. Выполним поворот окружности $\omega$ вокруг точки $C$ на угол 30° против часовой стрелки. Для этого:
   a) Построим образ центра $O$ — точку $O'$ — при повороте вокруг $C$ на 30° против часовой стрелки.
   b) Построим новую окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$.
3. Найдем точки пересечения окружности $\omega'$ и прямой $l$. Если таких точек нет, то решения для данного направления поворота не существует. Если они есть, выберем одну из них и обозначим ее $B$.
4. Выполним поворот точки $B$ вокруг точки $C$ на угол 30° по часовой стрелке (обратный поворот). Полученная точка является искомой вершиной $A$. По построению, точка $A$ будет лежать на исходной окружности $\omega$.
5. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Примечание: аналогичное построение можно выполнить для поворота на 30° по часовой стрелке, что может дать другие решения задачи (всего возможно до четырех решений).

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан выше.