Страница 32 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 22

Поворот

1. Даны отрезок $MN$ и точка $O$ (рис. 11). Постройте образ отрезка $MN$ при повороте на угол $120^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

2. Образом точки $M (-3; m)$ при повороте вокруг начала координат на угол $90^\circ$ по часовой стрелке является точка $N (-5; n)$. Найдите $m$ и $n$.

3. Даны прямая, окружность и точка $C$, которая лежит вне данной окружности и не принадлежит данной прямой. Постройте равнобедренный треугольник $ABC$ с вершиной в точке $C$ и углом при вершине, равным $30^\circ$, так, чтобы вершины $A$ и $B$ принадлежали соответственно данной окружности и данной прямой.

1. Чтобы построить образ отрезка MN при повороте на угол 120° вокруг центра O против часовой стрелки, необходимо выполнить поворот его концов — точек M и N — на заданный угол вокруг точки O. Полученные точки M' и N' будут концами искомого отрезка M'N'.

Построение выполняется следующим образом:

1. Соедините точку M с центром поворота O, получив отрезок OM.
2. С помощью транспортира отложите от луча OM угол, равный 120°, в направлении против часовой стрелки. Постройте луч OK так, чтобы $\angle MOK = 120°$.
3. С помощью циркуля измерьте расстояние OM. Отложите это расстояние на луче OK от точки O. Полученная точка M' является образом точки M. Таким образом, $OM = OM'$ и $\angle MOM' = 120°$.
4. Аналогично постройте образ точки N. Соедините точку N с центром O (отрезок ON).
5. Отложите от луча ON угол 120° против часовой стрелки, получив луч OL.
6. Отложите на луче OL от точки O отрезок ON', равный по длине отрезку ON. Точка N' — образ точки N.
7. Соедините точки M' и N'. Отрезок M'N' является образом отрезка MN при заданном повороте.

Ответ: Построение описано выше. Отрезок M'N' является искомым образом.

2. Поворот точки с координатами $(x; y)$ вокруг начала координат на угол 90° по часовой стрелке (что эквивалентно повороту на -90° или 270° против часовой стрелки) переводит ее в точку с координатами $(y; -x)$.

В нашей задаче точка $M(-3; m)$ поворачивается в точку $N(-5; n)$. Исходные координаты: $x = -3$, $y = m$. Координаты образа после поворота: $(y; -x) = (m; -(-3)) = (m; 3)$.

По условию, образом является точка $N(-5; n)$. Сравним полученные координаты с координатами точки $N$:
$(m; 3) = (-5; n)$

Отсюда следует, что:
$m = -5$
$n = 3$

Ответ: $m = -5, n = 3$.

3. Задача состоит в том, чтобы найти такие точки $A$ на данной окружности и $B$ на данной прямой, чтобы треугольник $ABC$ был равнобедренным с вершиной в точке $C$ и углом $\angle ACB = 30°$.

Условия, что $\triangle ABC$ равнобедренный с вершиной $C$ и $\angle ACB = 30°$, означают, что $AC = BC$ и точка $B$ может быть получена из точки $A$ поворотом вокруг центра $C$ на угол 30°. Направление поворота может быть как по часовой стрелке, так и против. Рассмотрим один из случаев, например, поворот против часовой стрелки.

Обозначим данный поворот как $R_{C, 30°}$. По условию, точка $A$ лежит на данной окружности (обозначим ее $\omega$), а точка $B$ лежит на данной прямой (обозначим ее $l$). Так как $B$ является образом точки $A$ при повороте $R_{C, 30°}$, то $B = R_{C, 30°}(A)$. Если точка $A$ принадлежит окружности $\omega$, то ее образ, точка $B$, должна принадлежать образу этой окружности при том же повороте. Обозначим образ окружности $\omega$ как $\omega' = R_{C, 30°}(\omega)$. Окружность $\omega'$ будет иметь тот же радиус, что и $\omega$, а ее центр будет являться образом центра исходной окружности при повороте $R_{C, 30°}$.

Таким образом, точка $B$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она лежит на прямой $l$ (по условию).
2. Она лежит на окружности $\omega'$ (как образ точки с окружности $\omega$).

Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $l$ и построенной окружности $\omega'$. Найдя точку $B$, можно найти точку $A$ обратным поворотом $R_{C, -30°}$ (то есть на 30° по часовой стрелке) вокруг точки $C$.

Алгоритм построения:

1. Пусть дана окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $r$, прямая $l$ и точка $C$.
2. Выполним поворот окружности $\omega$ вокруг точки $C$ на угол 30° против часовой стрелки. Для этого:
   a) Построим образ центра $O$ — точку $O'$ — при повороте вокруг $C$ на 30° против часовой стрелки.
   b) Построим новую окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и тем же радиусом $r$.
3. Найдем точки пересечения окружности $\omega'$ и прямой $l$. Если таких точек нет, то решения для данного направления поворота не существует. Если они есть, выберем одну из них и обозначим ее $B$.
4. Выполним поворот точки $B$ вокруг точки $C$ на угол 30° по часовой стрелке (обратный поворот). Полученная точка является искомой вершиной $A$. По построению, точка $A$ будет лежать на исходной окружности $\omega$.
5. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Примечание: аналогичное построение можно выполнить для поворота на 30° по часовой стрелке, что может дать другие решения задачи (всего возможно до четырех решений).

Ответ: Алгоритм построения треугольника описан выше.

Самостоятельная работа № 23

Гомотетия. Подобие фигур

1. Стороны двух квадратов относятся как $2 : 5$, а площадь большего из них равна 100 см^2. Найдите площадь меньшего квадрата.

2. Отметьте точки $M$ и $N$. Найдите такую точку $K$, чтобы точка $M$ была образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -\frac{1}{2}$;

3. Даны прямая $b$, точка $A$ и окружность с центром в точке $O$ (рис. 12). Через точку $A$ проведите прямую, пересекающую окружность и прямую $b$ в точках $C$ и $D$ соответственно так, чтобы $CA : AD = 3 : 4$.

Рис. 12

1.

Пусть стороны меньшего и большего квадратов равны $a_1$ и $a_2$ соответственно, а их площади - $S_1$ и $S_2$.

По условию, стороны квадратов относятся как $2:5$, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Квадраты являются подобными фигурами, а отношение их сторон - это и есть коэффициент подобия $k$. В данном случае $k = \frac{2}{5}$ (отношение стороны меньшего квадрата к стороне большего).

Следовательно, отношение их площадей равно:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$

Площадь большего квадрата известна: $S_2 = 100 \text{ см}^2$.

Подставим это значение в формулу и найдем площадь меньшего квадрата $S_1$:

$\frac{S_1}{100} = \frac{4}{25}$

$S_1 = 100 \cdot \frac{4}{25} = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: 16 см².

2.

Точка $M$ является образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом $k$. Это означает, что выполняется векторное равенство $\vec{KM} = k \cdot \vec{KN}$. Из этого равенства следует, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

1) k = 3;

В этом случае $\vec{KM} = 3 \cdot \vec{KN}$.

Так как $k = 3 > 0$, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ сонаправлены. Это значит, что точка $N$ лежит на отрезке $KM$.

Длина отрезка $KM$ в 3 раза больше длины отрезка $KN$: $|KM| = 3|KN|$.

Поскольку точки лежат на одной прямой и $N$ находится между $K$ и $M$, то $|KM| = |KN| + |NM|$.

Подставляя $|KM| = 3|KN|$, получаем: $3|KN| = |KN| + |NM|$, откуда $2|KN| = |NM|$, или $|KN| = \frac{1}{2}|NM|$.

Построение: Чтобы найти точку $K$, нужно построить прямую, проходящую через точки $M$ и $N$. На этой прямой от точки $N$ в сторону, противоположную точке $M$, отложить отрезок $NK$, равный половине длины отрезка $NM$. Полученная точка $K$ и будет искомым центром гомотетии.

Ответ: Точка K лежит на прямой MN, причем точка N находится между точками K и M, а расстояние KN равно половине расстояния NM.

2) k = -1/2;

В этом случае $\vec{KM} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{KN}$.

Так как $k = -1/2 < 0$, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ противоположно направлены. Это значит, что центр гомотетии, точка $K$, лежит на отрезке $MN$.

Соотношение длин отрезков: $|KM| = |-\frac{1}{2}| \cdot |KN| = \frac{1}{2}|KN|$.

Точка $K$ делит отрезок $MN$ в отношении $|MK|:|KN| = 1:2$, считая от точки $M$.

Построение: Чтобы найти точку $K$, нужно разделить отрезок $MN$ на 3 равные части. Точка $K$ будет первой точкой деления, если считать от точки $M$.

Ответ: Точка K лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:2, считая от точки M.

3.

Пусть искомая прямая $l$ проходит через точку $A$, пересекает окружность в точке $C$ и прямую $b$ в точке $D$. По условию, должно выполняться соотношение длин отрезков $CA : AD = 3 : 4$.

Это соотношение можно трактовать как гомотетическое преобразование, переводящее точку $D$ в точку $C$. Центром этой гомотетии является точка $A$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точек на прямой $l$:

1. Точка $C$ лежит между $A$ и $D$. В этом случае векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Из $CA/AD = 3/4$ следует, что $\vec{AC} = \frac{3}{4} \vec{AD}$. Точка $C$ является образом точки $D$ при гомотетии $H_1$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k_1 = \frac{3}{4}$.

2. Точка $A$ лежит между $C$ и $D$. В этом случае векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ противоположно направлены. Из $CA/AD = 3/4$ следует, что $\vec{AC} = -\frac{3}{4} \vec{AD}$. Точка $C$ является образом точки $D$ при гомотетии $H_2$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k_2 = -\frac{3}{4}$.

Поскольку точка $D$ должна лежать на прямой $b$, то ее образ, точка $C$, должна лежать на образе прямой $b$ при соответствующей гомотетии. Образом прямой при гомотетии является прямая, ей параллельная (если центр гомотетии не лежит на прямой).

Таким образом, задача сводится к построению образов прямой $b$ при гомотетиях $H_1$ и $H_2$, и нахождению точек пересечения этих образов с данной окружностью.

Алгоритм построения:

1. Построение для $k_1 = 3/4$:

а) Возьмем на прямой $b$ произвольную точку $P$.

б) Построим ее образ $P_1$ при гомотетии $H_1$. Для этого соединим точки $A$ и $P$ отрезком и найдем на нем точку $P_1$ такую, что $AP_1 = \frac{3}{4} AP$.

в) Через точку $P_1$ проведем прямую $b_1$, параллельную прямой $b$. Эта прямая $b_1$ является образом прямой $b$ при гомотетии $H_1$.

г) Найдем точки пересечения прямой $b_1$ с данной окружностью. Пусть это точки $C_1$ и $C_2$ (их может быть две, одна или ни одной).

2. Построение для $k_2 = -3/4$:

а) Возьмем на прямой $b$ произвольную точку $Q$.

б) Построим ее образ $Q_2$ при гомотетии $H_2$. Для этого проведем прямую через $A$ и $Q$. На этой прямой отложим от точки $A$ в сторону, противоположную лучу $AQ$, отрезок $AQ_2$ длиной $\frac{3}{4} AQ$.

в) Через точку $Q_2$ проведем прямую $b_2$, параллельную прямой $b$. Эта прямая $b_2$ является образом прямой $b$ при гомотетии $H_2$.

г) Найдем точки пересечения прямой $b_2$ с данной окружностью. Пусть это точки $C_3$ и $C_4$ (их может быть две, одна или ни одной).

3. Искомые прямые: Каждая из найденных точек $C_1, C_2, C_3, C_4$ является искомой точкой $C$. Проведя прямые через точку $A$ и каждую из этих точек ($AC_1, AC_2, AC_3, AC_4$), мы получим все возможные решения задачи. В зависимости от взаимного расположения исходных фигур, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Решение задачи заключается в выполнении вышеописанного алгоритма построения. Искомые прямые - это прямые, проходящие через точку A и точки пересечения данной окружности с двумя вспомогательными прямыми ($b_1$ и $b_2$), которые являются образами прямой $b$ при гомотетиях с центром A и коэффициентами $k_1 = 3/4$ и $k_2 = -3/4$.