Страница 38 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $N (-2; 3)$ и:

1) параллельна прямой $y = -2x + 1$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс угол $150^\circ$.

2. Найдите расстояние от точки $A (1; -3)$ до прямой $7x + 24y = 4$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки $A (4; 0)$ и $B (0; -2)$ и центр которой принадлежит прямой $4x + y = 3$.

1)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.
Поскольку искомая прямая параллельна прямой $y = -2x + 1$, их угловые коэффициенты равны. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой $k = -2$.
Уравнение прямой принимает вид: $y = -2x + b$.
Прямая проходит через точку $N(-2; 3)$, поэтому координаты этой точки должны удовлетворять уравнению. Подставим $x = -2$ и $y = 3$:
$3 = -2(-2) + b$
$3 = 4 + b$
$b = 3 - 4 = -1$
Следовательно, уравнение искомой прямой: $y = -2x - 1$.
Ответ: $y = -2x - 1$.

2)

Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.
По условию, $\alpha = 150^\circ$.
Находим угловой коэффициент:
$k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с заданным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставляем координаты точки $N(-2; 3)$ и найденный угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:
$y - 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-2))$
$y - 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 3$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

2.

Расстояние $d$ от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
Сначала приведем уравнение прямой $7x + 24y = 4$ к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$7x + 24y - 4 = 0$.
В этом уравнении $A = 7$, $B = 24$, $C = -4$. Координаты точки $A(1; -3)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = -3$.
Подставим значения в формулу:
$d = \frac{|7 \cdot 1 + 24 \cdot (-3) - 4|}{\sqrt{7^2 + 24^2}} = \frac{|7 - 72 - 4|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{|-69|}{\sqrt{625}} = \frac{69}{25}$.
Ответ: $\frac{69}{25}$.

3.

Общее уравнение окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.
Пусть центр окружности — точка $C(a; b)$. По условию, центр лежит на прямой $4x + y = 3$. Следовательно, его координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
$4a + b = 3$ (1)
Окружность проходит через точки $A(4; 0)$ и $B(0; -2)$, поэтому расстояния от центра $C$ до этих точек равны радиусу $R$. Отсюда следует, что $CA = CB$, и $CA^2 = CB^2$.
Выразим квадраты расстояний:
$CA^2 = (a - 4)^2 + (b - 0)^2 = (a - 4)^2 + b^2$
$CB^2 = (a - 0)^2 + (b - (-2))^2 = a^2 + (b + 2)^2$
Приравняем эти выражения:
$(a - 4)^2 + b^2 = a^2 + (b + 2)^2$
$a^2 - 8a + 16 + b^2 = a^2 + b^2 + 4b + 4$
$-8a + 16 = 4b + 4$
$12 = 8a + 4b$
Разделим обе части на 4:
$3 = 2a + b$ (2)
Решим систему уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 4a + b = 3 \\ 2a + b = 3 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем:
$(4a + b) - (2a + b) = 3 - 3 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0$
Подставим $a=0$ во второе уравнение: $2(0) + b = 3 \Rightarrow b = 3$.
Координаты центра окружности $C(0; 3)$.
Теперь найдем квадрат радиуса, используя точку $A(4; 0)$:
$R^2 = CA^2 = (0 - 4)^2 + (3 - 0)^2 = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Подставим найденные значения $a=0$, $b=3$ и $R^2=25$ в общее уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 25$
$x^2 + (y - 3)^2 = 25$.
Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 25$.

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками A и B равно 2. Найдите геометрическое место точек X таких, что $XB^2 - XA^2 = 4$.

2. Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны 30 см и 40 см соответственно. На медиане CM отметили точку F так, что $CF : FM = 1 : 4$. Найдите расстояние от точки F до середины катета BC.

3. Расстояние между точками A и B равно 5 см. Найдите геометрическое место точек C таких, что медиана BM треугольника ABC равна 7 см.

1.

Введем систему координат. Пусть точки А и В лежат на оси $Ox$. Так как расстояние между ними равно 2, разместим их симметрично относительно начала координат. Пусть координаты точки A будут $(-1, 0)$, а точки B - $(1, 0)$.

Пусть искомая точка X имеет координаты $(x, y)$.

Найдем квадраты расстояний $XA$ и $XB$:
$XA^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$XB^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$.

По условию задачи $XB^2 - XA^2 = 4$. Подставим полученные выражения в это уравнение:

$(x^2 - 2x + 1 + y^2) - (x^2 + 2x + 1 + y^2) = 4$.

Упростим уравнение:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - x^2 - 2x - 1 - y^2 = 4$.
$-4x = 4$.
$x = -1$.

Уравнение $x = -1$ задает прямую, параллельную оси $Oy$. В нашей системе координат точка A имеет координаты $(-1, 0)$, а отрезок AB лежит на оси $Ox$. Следовательно, прямая $x = -1$ проходит через точку A и перпендикулярна прямой AB.

Таким образом, искомое геометрическое место точек X — это прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой AB.

Ответ: Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой AB.

2.

Введем прямоугольную систему координат. Так как треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, поместим вершину C в начало координат $(0, 0)$. Катеты AC и BC расположим на осях координат.

Пусть катет AC лежит на оси $Oy$, а катет BC — на оси $Ox$. Тогда, согласно условию, координаты вершин будут: C(0, 0), A(0, 30), B(40, 0).

CM — медиана, следовательно, M — середина гипотенузы AB. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 40}{2} = 20$.
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{30 + 0}{2} = 15$.
Таким образом, M(20, 15).

Точка F лежит на медиане CM и делит ее в отношении $CF : FM = 1 : 4$. Найдем координаты точки F, используя формулу деления отрезка в данном отношении. Так как C - начало координат, координаты F будут составлять $1/(1+4) = 1/5$ от координат M:

$x_F = \frac{1}{5} x_M = \frac{1}{5} \cdot 20 = 4$.
$y_F = \frac{1}{5} y_M = \frac{1}{5} \cdot 15 = 3$.
Итак, F(4, 3).

Нам нужно найти расстояние от точки F до середины катета BC. Обозначим середину BC как K. Найдем координаты точки K:

$x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{40 + 0}{2} = 20$.
$y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$.
Таким образом, K(20, 0).

Теперь найдем расстояние FK по формуле расстояния между двумя точками:

$FK = \sqrt{(x_K - x_F)^2 + (y_K - y_F)^2} = \sqrt{(20 - 4)^2 + (0 - 3)^2}$.
$FK = \sqrt{16^2 + (-3)^2} = \sqrt{256 + 9} = \sqrt{265}$.

Ответ: $\sqrt{265}$ см.

3.

Введем систему координат. Расположим точки A и B на оси $Ox$. Пусть точка A имеет координаты $(0, 0)$, а точка B — $(5, 0)$. Расстояние между ними равно 5, что соответствует условию.

Пусть искомая точка C имеет координаты $(x, y)$.

BM — медиана треугольника ABC, следовательно, точка M является серединой стороны AC. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$.
$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$.
Таким образом, M$(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$.

Длина медианы BM равна 7. Запишем квадрат длины отрезка BM, используя координаты точек B$(5, 0)$ и M$(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$:

$BM^2 = (x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2 = 7^2$.
$(\frac{x}{2} - 5)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2 = 49$.

Упростим полученное уравнение:

$(\frac{x - 10}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 49$.
$\frac{(x-10)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 49$.

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x-10)^2 + y^2 = 196$.
$(x-10)^2 + y^2 = 14^2$.

Это уравнение окружности с центром в точке O(10, 0) и радиусом $R = 14$.

Опишем положение центра O(10, 0) относительно точек A(0, 0) и B(5, 0). Все три точки лежат на одной прямой (оси $Ox$). Точка B является серединой отрезка AO, так как ее координаты $(\frac{0+10}{2}, \frac{0+0}{2}) = (5, 0)$ совпадают с координатами B.

Следовательно, искомое геометрическое место точек C — это окружность с радиусом 14 см и центром в точке O, которая лежит на прямой AB, причем B является серединой отрезка AO.

Ответ: Окружность с радиусом 14 см и центром в точке O, такой, что точка B является серединой отрезка AO.

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали квадрата $CDEF$ пересекаются в точке $O$. Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{CD}$; 2) $\vec{DE}$; 3) $\vec{EO}$; 4) $\vec{FO}$.

2. В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 17$ см, $BD = 16$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{AC}|$; 2) $|\vec{AO}|$; 3) $|\vec{DO}|$.

3. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CD}|$. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

1. В квадрате CDEF противоположные стороны попарно параллельны и равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам. Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. Исходя из этих свойств:

1) $\vec{CD}$

Сторона FE параллельна стороне CD и равна ей по длине. Направление от точки F к точке E совпадает с направлением от точки C к точке D. Следовательно, $\vec{CD} = \vec{FE}$.

Ответ: $\vec{FE}$.

2) $\vec{DE}$

Сторона CF параллельна стороне DE и равна ей по длине. Направление от точки C к точке F совпадает с направлением от точки D к точке E. Следовательно, $\vec{DE} = \vec{CF}$.

Ответ: $\vec{CF}$.

3) $\vec{EO}$

Диагонали квадрата в точке пересечения O делятся пополам, поэтому длина отрезка EO равна длине отрезка OC. Векторы $\vec{EO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой (диагонали CE) и направлены в одну и ту же сторону (от E к C). Следовательно, $\vec{EO} = \vec{OC}$.

Ответ: $\vec{OC}$.

4) $\vec{FO}$

Диагонали квадрата в точке пересечения O делятся пополам, поэтому длина отрезка FO равна длине отрезка OD. Векторы $\vec{FO}$ и $\vec{OD}$ лежат на одной прямой (диагонали FD) и направлены в одну и ту же сторону (от F к D). Следовательно, $\vec{FO} = \vec{OD}$.

Ответ: $\vec{OD}$.

2. В ромбе ABCD диагонали перпендикулярны и в точке пересечения O делятся пополам. Все стороны ромба равны, значит $AB = BC = CD = DA = 17$ см. Дано, что диагональ $BD = 16$ см.

1) $|\vec{AC}|$

Рассмотрим треугольник AOB. Он прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом ($\angle AOB = 90^\circ$). Гипотенуза $AB = 17$ см. Катет BO равен половине диагонали BD: $BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

По теореме Пифагора найдём катет AO:

$AO^2 + BO^2 = AB^2$

$AO^2 = AB^2 - BO^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$

$AO = \sqrt{225} = 15$ см.

Точка O делит диагональ AC пополам, значит, $AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot 15 = 30$ см.

Длина вектора $|\vec{AC}|$ равна длине отрезка AC.

Ответ: 30 см.

2) $|\vec{AO}|$

Длина вектора $|\vec{AO}|$ равна длине отрезка AO, которую мы нашли в предыдущем пункте.

$AO = 15$ см.

Ответ: 15 см.

3) $|\vec{DO}|$

Точка O делит диагональ BD пополам, значит, $DO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см.

Длина вектора $|\vec{DO}|$ равна длине отрезка DO.

Ответ: 8 см.

3. Дан четырёхугольник ABCD. Рассмотрим заданные условия:

1. Векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны. Это означает, что прямые, на которых лежат эти векторы, параллельны, то есть $BC \parallel AD$. Четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет, является трапецией. Значит, ABCD — трапеция с основаниями BC и AD.

2. Известно, что $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$. Это означает, что длины боковых сторон трапеции AB и CD равны.

Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной (или равнобокой) трапецией.

3. Условие $|\vec{BC}| = |\vec{AB}|$ говорит о том, что длина меньшего основания равна длине боковой стороны. Это дополнительная характеристика данной трапеции, но она не меняет её основной вид.

Следовательно, четырёхугольник ABCD является равнобедренной трапецией.

Ответ: Равнобедренная трапеция.