Номер 11, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку $N (-2; 3)$ и:

1) параллельна прямой $y = -2x + 1$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс угол $150^\circ$.

2. Найдите расстояние от точки $A (1; -3)$ до прямой $7x + 24y = 4$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки $A (4; 0)$ и $B (0; -2)$ и центр которой принадлежит прямой $4x + y = 3$.

1)

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.
Поскольку искомая прямая параллельна прямой $y = -2x + 1$, их угловые коэффициенты равны. Таким образом, угловой коэффициент искомой прямой $k = -2$.
Уравнение прямой принимает вид: $y = -2x + b$.
Прямая проходит через точку $N(-2; 3)$, поэтому координаты этой точки должны удовлетворять уравнению. Подставим $x = -2$ и $y = 3$:
$3 = -2(-2) + b$
$3 = 4 + b$
$b = 3 - 4 = -1$
Следовательно, уравнение искомой прямой: $y = -2x - 1$.
Ответ: $y = -2x - 1$.

2)

Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.
По условию, $\alpha = 150^\circ$.
Находим угловой коэффициент:
$k = \tan(150^\circ) = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Используем уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с заданным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.
Подставляем координаты точки $N(-2; 3)$ и найденный угловой коэффициент $k = -\frac{\sqrt{3}}{3}$:
$y - 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-2))$
$y - 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x + 2)$
$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{2\sqrt{3}}{3} + 3$.
Ответ: $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 3 - \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

2.

Расстояние $d$ от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
Сначала приведем уравнение прямой $7x + 24y = 4$ к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$7x + 24y - 4 = 0$.
В этом уравнении $A = 7$, $B = 24$, $C = -4$. Координаты точки $A(1; -3)$, следовательно, $x_0 = 1$, $y_0 = -3$.
Подставим значения в формулу:
$d = \frac{|7 \cdot 1 + 24 \cdot (-3) - 4|}{\sqrt{7^2 + 24^2}} = \frac{|7 - 72 - 4|}{\sqrt{49 + 576}} = \frac{|-69|}{\sqrt{625}} = \frac{69}{25}$.
Ответ: $\frac{69}{25}$.

3.

Общее уравнение окружности: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.
Пусть центр окружности — точка $C(a; b)$. По условию, центр лежит на прямой $4x + y = 3$. Следовательно, его координаты удовлетворяют уравнению этой прямой:
$4a + b = 3$ (1)
Окружность проходит через точки $A(4; 0)$ и $B(0; -2)$, поэтому расстояния от центра $C$ до этих точек равны радиусу $R$. Отсюда следует, что $CA = CB$, и $CA^2 = CB^2$.
Выразим квадраты расстояний:
$CA^2 = (a - 4)^2 + (b - 0)^2 = (a - 4)^2 + b^2$
$CB^2 = (a - 0)^2 + (b - (-2))^2 = a^2 + (b + 2)^2$
Приравняем эти выражения:
$(a - 4)^2 + b^2 = a^2 + (b + 2)^2$
$a^2 - 8a + 16 + b^2 = a^2 + b^2 + 4b + 4$
$-8a + 16 = 4b + 4$
$12 = 8a + 4b$
Разделим обе части на 4:
$3 = 2a + b$ (2)
Решим систему уравнений (1) и (2):
$\begin{cases} 4a + b = 3 \\ 2a + b = 3 \end{cases}$
Вычитая второе уравнение из первого, получаем:
$(4a + b) - (2a + b) = 3 - 3 \Rightarrow 2a = 0 \Rightarrow a = 0$
Подставим $a=0$ во второе уравнение: $2(0) + b = 3 \Rightarrow b = 3$.
Координаты центра окружности $C(0; 3)$.
Теперь найдем квадрат радиуса, используя точку $A(4; 0)$:
$R^2 = CA^2 = (0 - 4)^2 + (3 - 0)^2 = (-4)^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
Подставим найденные значения $a=0$, $b=3$ и $R^2=25$ в общее уравнение окружности:
$(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 25$
$x^2 + (y - 3)^2 = 25$.
Ответ: $x^2 + (y - 3)^2 = 25$.