Номер 17, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 17

Скалярное произведение векторов

1. Даны векторы $\vec{b}(x; -3)$ и $\vec{c}(-2; 7)$. При каких значениях $x$ угол между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

1) острый;

2) прямой;

3) тупой?

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 2$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^{\circ}$. Найдите $|3\vec{a} - \vec{b}|$.

3. На стороне $AD$ квадрата $ABCD$ отметили точку $N$ так, что $AN : ND = 4 : 1$. Найдите косинус угла между прямыми $CN$ и $BD$.

1. Даны векторы $\vec{b}(x; -3)$ и $\vec{c}(-2; 7)$.

Тип угла между ненулевыми векторами определяется знаком их скалярного произведения. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = x_1x_2 + y_1y_2 = x \cdot (-2) + (-3) \cdot 7 = -2x - 21$.

1) острый

Угол между векторами является острым, если их скалярное произведение положительно, то есть $\vec{b} \cdot \vec{c} > 0$.

$-2x - 21 > 0$

$-2x > 21$

$x < -\frac{21}{2}$

$x < -10.5$

Ответ: при $x \in (-\infty; -10.5)$.

2) прямой

Угол между векторами является прямым, если их скалярное произведение равно нулю, то есть $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$.

$-2x - 21 = 0$

$-2x = 21$

$x = -\frac{21}{2}$

$x = -10.5$

Ответ: при $x = -10.5$.

3) тупой

Угол между векторами является тупым, если их скалярное произведение отрицательно, то есть $\vec{b} \cdot \vec{c} < 0$.

$-2x - 21 < 0$

$-2x < 21$

$x > -\frac{21}{2}$

$x > -10.5$

Ответ: при $x \in (-10.5; +\infty)$.

2. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ такие, что $|\vec{a}| = 6$, $|\vec{b}| = 2$, и угол между ними $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

Для нахождения модуля вектора $|3\vec{a} - \vec{b}|$ воспользуемся свойством скалярного произведения: $|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$.

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = (3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя свойства скалярного произведения:

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = 9(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (\vec{b} \cdot \vec{b}) = 9|\vec{a}|^2 - 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot 2 \cdot \cos(30^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$.

Подставим известные значения в выражение для квадрата модуля:

$|3\vec{a} - \vec{b}|^2 = 9 \cdot 6^2 - 6 \cdot (6\sqrt{3}) + 2^2 = 9 \cdot 36 - 36\sqrt{3} + 4 = 324 - 36\sqrt{3} + 4 = 328 - 36\sqrt{3}$.

Теперь найдем модуль, извлекая квадратный корень:

$|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{328 - 36\sqrt{3}} = \sqrt{4(82 - 9\sqrt{3})} = 2\sqrt{82 - 9\sqrt{3}}$.

Ответ: $2\sqrt{82 - 9\sqrt{3}}$.

3. Для нахождения косинуса угла между прямыми $CN$ и $BD$ воспользуемся векторным методом.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ квадрата $ABCD$ находится в начале координат $A(0, 0)$. Поскольку соотношение $AN:ND = 4:1$, удобно принять длину стороны квадрата равной 5. Тогда координаты вершин: $A(0, 0)$, $B(5, 0)$, $C(5, 5)$, $D(0, 5)$.

Точка $N$ лежит на стороне $AD$ и делит её в отношении $4:1$, поэтому $AN = 4$. Координаты точки $N$ будут $N(0, 4)$.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $CN$ и $BD$:

$\vec{CN} = N - C = (0 - 5; 4 - 5) = (-5; -1)$.

$\vec{BD} = D - B = (0 - 5; 5 - 0) = (-5; 5)$.

Косинус угла $\theta$ между векторами вычисляется по формуле:

$\cos\theta = \frac{\vec{CN} \cdot \vec{BD}}{|\vec{CN}| \cdot |\vec{BD}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{CN} \cdot \vec{BD} = (-5) \cdot (-5) + (-1) \cdot 5 = 25 - 5 = 20$.

Вычислим модули векторов:

$|\vec{CN}| = \sqrt{(-5)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26}$.

$|\vec{BD}| = \sqrt{(-5)^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса:

$\cos\theta = \frac{20}{\sqrt{26} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{52}} = \frac{4}{\sqrt{4 \cdot 13}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

Угол между прямыми принято считать острым, поэтому его косинус должен быть неотрицательным. Так как $\frac{2}{\sqrt{13}} > 0$, это и есть искомый косинус. Рационализируем знаменатель:

$\frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{13}}{13}$.