Номер 19, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 19

Движение. Параллельный перенос

1. Найдите вектор, при параллельном переносе на который образом точки $M(-5; 9)$ будет точка $K(-4; 7)$, и вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $M$.

2. Выполнили параллельный перенос прямой $2x - 3y = 4$. Запишите уравнение полученной прямой, если она проходит через точку $F(-3; 1)$.

3. Даны луч, окружность и отрезок $AB$. Постройте отрезок, равный и параллельный отрезку $AB$, так, чтобы его концы принадлежали данному лучу и данной окружности.

1.

Задача состоит из двух частей.

Часть 1: Найти вектор, при параллельном переносе на который образом точки $M(-5; 9)$ будет точка $K(-4; 7)$.
Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{v} = (a; b)$.
При параллельном переносе на вектор $\vec{v}$ точка с координатами $(x; y)$ переходит в точку с координатами $(x+a; y+b)$.
В нашем случае, точка $M(x_M; y_M) = M(-5; 9)$ переходит в точку $K(x_K; y_K) = K(-4; 7)$. Следовательно, мы можем составить систему уравнений:
$x_K = x_M + a$
$y_K = y_M + b$
Подставим известные координаты:
$-4 = -5 + a$
$7 = 9 + b$
Из первого уравнения находим $a$:
$a = -4 - (-5) = -4 + 5 = 1$
Из второго уравнения находим $b$:
$b = 7 - 9 = -2$
Таким образом, вектор параллельного переноса равен $\vec{v} = (1; -2)$. Этот вектор совпадает с вектором $\vec{MK}$.

Часть 2: Найти вектор, при параллельном переносе на который образом точки $K$ будет точка $M$.
Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{u} = (c; d)$.
Теперь точка $K(-4; 7)$ переходит в точку $M(-5; 9)$. Составим систему уравнений:
$x_M = x_K + c$
$y_M = y_K + d$
Подставим известные координаты:
$-5 = -4 + c$
$9 = 7 + d$
Из первого уравнения находим $c$:
$c = -5 - (-4) = -5 + 4 = -1$
Из второго уравнения находим $d$:
$d = 9 - 7 = 2$
Таким образом, вектор параллельного переноса равен $\vec{u} = (-1; 2)$. Этот вектор совпадает с вектором $\vec{KM}$.
Заметим, что $\vec{u} = -\vec{v}$, так как второй перенос является обратным к первому.

Ответ: Вектор переноса из $M$ в $K$ равен $(1; -2)$. Вектор переноса из $K$ в $M$ равен $(-1; 2)$.

2.

При параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую. Уравнение исходной прямой: $2x - 3y = 4$. Любая прямая, параллельная данной, имеет уравнение вида $2x - 3y = C$, где $C$ — некоторая константа.

Нам известно, что полученная в результате переноса прямая проходит через точку $F(-3; 1)$. Чтобы найти значение $C$, подставим координаты точки $F$ в уравнение искомой прямой:
$2x - 3y = C$
$2(-3) - 3(1) = C$
$-6 - 3 = C$
$C = -9$

Следовательно, уравнение полученной прямой: $2x - 3y = -9$.

Ответ: $2x - 3y = -9$.

3.

Пусть даны луч $l$, окружность $c$ с центром $O$ и радиусом $R$, и отрезок $AB$. Требуется построить отрезок $CD$ такой, что:

• $C$ лежит на луче $l$ ($C \in l$).
• $D$ лежит на окружности $c$ ($D \in c$).
• Отрезок $CD$ равен и параллелен отрезку $AB$.

Условие, что отрезок $CD$ равен и параллелен отрезку $AB$, означает, что вектор $\vec{CD}$ равен вектору $\vec{AB}$ (или вектору $\vec{BA}$). Рассмотрим случай, когда $\vec{CD} = \vec{AB}$. Это означает, что точка $D$ является образом точки $C$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{AB}$.

Рассмотрим обратный перенос на вектор $-\vec{v} = \vec{BA}$. При этом переносе точка $C$ будет образом точки $D$. Поскольку точка $D$ принадлежит окружности $c$, ее образ, точка $C$, будет принадлежать образу окружности $c$ при переносе на вектор $\vec{BA}$. Обозначим этот образ $c'$. Окружность $c'$ будет иметь тот же радиус $R$, что и окружность $c$, а ее центр $O'$ будет образом центра $O$ при переносе на вектор $\vec{BA}$.

Таким образом, точка $C$ должна удовлетворять двум условиям:

1. $C$ принадлежит лучу $l$ (по условию).
2. $C$ принадлежит окружности $c'$ (по построению).

Следовательно, искомые точки $C$ являются точками пересечения луча $l$ и построенной окружности $c'$. В зависимости от их взаимного расположения, может быть ноль, одна или две такие точки (а значит, и ноль, одно или два решения).

Алгоритм построения:

1. Определяем вектор параллельного переноса $\vec{u} = \vec{BA}$.
2. Строим точку $O'$ — образ центра $O$ данной окружности $c$ при параллельном переносе на вектор $\vec{u}$. Для этого строим параллелограмм $BAOO'$, где $\vec{OO'} = \vec{BA}$.
3. Строим окружность $c'$ с центром в точке $O'$ и радиусом, равным радиусу данной окружности $c$.
4. Находим точки пересечения построенной окружности $c'$ и данного луча $l$. Обозначим эти точки $C_1, C_2$ (если они существуют).
5. Для каждой найденной точки $C_i$ строим ее образ $D_i$ при параллельном переносе на вектор $\vec{AB}$. Для этого строим параллелограмм $ABC_iD_i$, где $\vec{C_iD_i} = \vec{AB}$.
6. Полученные отрезки $C_1D_1$ и $C_2D_2$ являются искомыми.

Если рассмотреть случай $\vec{CD} = \vec{BA}$, то алгоритм будет аналогичным, но перенос будет осуществляться на вектор $\vec{AB}$.

Ответ: Описание построения приведено выше. Количество решений (0, 1 или 2) зависит от количества точек пересечения построенной окружности $c'$ и данного луча $l$.