Номер 21, страница 41 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 21

Центральная симметрия

1. Точки $K (x; -2)$ и $N (-1; y)$ симметричны относительно точки $D (5; -6)$. Найдите $x$ и $y$.

2. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $2x - 3y = 6$ относительно точки $P (1; -3)$.

3. Даны парабола, прямая и точка. Постройте отрезок с серединой в данной точке, один из концов которого принадлежит данной параболе, а другой — данной прямой.

1. Поскольку точки $K(x; -2)$ и $N(-1; y)$ симметричны относительно точки $D(5; -6)$, точка $D$ является серединой отрезка $KN$. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
$x_D = \frac{x_K + x_N}{2}$ и $y_D = \frac{y_K + y_N}{2}$.
Подставим известные значения координат.
Для координаты $x$:
$5 = \frac{x + (-1)}{2}$
$10 = x - 1$
$x = 11$
Для координаты $y$:
$-6 = \frac{-2 + y}{2}$
$-12 = -2 + y$
$y = -10$
Ответ: $x = 11, y = -10$.

2. Прямая, симметричная данной прямой относительно точки, будет ей параллельна (если точка не лежит на прямой). Уравнение прямой, параллельной прямой $2x - 3y = 6$, имеет вид $2x - 3y = C$, где $C$ — некоторая константа.
Сначала проверим, лежит ли точка $P(1; -3)$ на прямой $2x - 3y = 6$:
$2(1) - 3(-3) = 2 + 9 = 11$. Поскольку $11 \neq 6$, точка $P$ не лежит на данной прямой.
Чтобы найти $C$, найдем любую точку на исходной прямой, затем найдем точку, симметричную ей относительно $P$, и подставим координаты этой новой точки в искомое уравнение.
Возьмем точку $A$ на прямой $2x - 3y = 6$. Пусть $x = 3$, тогда $2(3) - 3y = 6 \implies 6 - 3y = 6 \implies y = 0$. Таким образом, точка $A$ имеет координаты $(3; 0)$.
Найдем точку $A'(x'; y')$, симметричную точке $A(3; 0)$ относительно точки $P(1; -3)$. Точка $P$ является серединой отрезка $AA'$.
$x_P = \frac{x_A + x'}{2} \implies 1 = \frac{3 + x'}{2} \implies 2 = 3 + x' \implies x' = -1$.
$y_P = \frac{y_A + y'}{2} \implies -3 = \frac{0 + y'}{2} \implies -6 = y' \implies y' = -6$.
Точка $A'$ имеет координаты $(-1; -6)$ и лежит на искомой прямой.
Подставим ее координаты в уравнение $2x - 3y = C$:
$2(-1) - 3(-6) = C \implies -2 + 18 = C \implies C = 16$.
Следовательно, уравнение искомой прямой: $2x - 3y = 16$.
Ответ: $2x - 3y = 16$.

3. Пусть даны парабола $C$, прямая $L$ и точка $M$. Требуется построить отрезок $AB$ такой, что точка $A$ лежит на параболе $C$, точка $B$ лежит на прямой $L$, а точка $M$ является серединой отрезка $AB$.

Поскольку $M$ — середина $AB$, точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $M$. Это свойство является ключом к построению. Если точка $B$ пробегает все точки прямой $L$, то симметричная ей точка $A$ будет пробегать все точки некоторой другой прямой $L'$, которая симметрична прямой $L$ относительно точки $M$.

Таким образом, искомая точка $A$ должна одновременно принадлежать параболе $C$ и прямой $L'$. То есть, точка $A$ является точкой пересечения параболы $C$ и прямой $L'$.

Алгоритм построения следующий:

1. Построить прямую $L'$, симметричную данной прямой $L$ относительно данной точки $M$. Для этого нужно:
   1. Выбрать две произвольные точки $P_1$ и $Q_1$ на прямой $L$.
   2. Построить точку $P_2$, симметричную $P_1$ относительно $M$ (так, чтобы $M$ была серединой отрезка $P_1P_2$).
   3. Построить точку $Q_2$, симметричную $Q_1$ относительно $M$.
   4. Провести прямую $L'$ через точки $P_2$ и $Q_2$.
2. Найти точки пересечения построенной прямой $L'$ и данной параболы $C$. Обозначим одну из этих точек как $A$. В зависимости от взаимного расположения параболы и прямой, таких точек может быть ноль, одна или две.
3. Для каждой найденной точки $A$ построить точку $B$, симметричную точке $A$ относительно точки $M$. Поскольку точка $A$ лежит на $L'$, по построению симметричная ей точка $B$ будет лежать на исходной прямой $L$.
4. Отрезок $AB$ является искомым.

Ответ: Решение задачи сводится к построению прямой, симметричной данной прямой относительно данной точки, нахождению ее точек пересечения с данной параболой (это будут концы искомого отрезка, лежащие на параболе), и последующему построению вторых концов отрезка, симметричных первым относительно той же точки.