Номер 3, страница 46 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 3

Декартовы координаты на плоскости

1. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке $M (1; -3)$ и которая проходит через точку $K (-4; 2)$.

2. Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD$, если $A (-2; 3)$, $B (4; 5)$, $C (2; 1)$.

3. Найдите расстояние от точки $M (5; -3)$ до прямой $3x - 4y + 11 = 0$.

4. Даны точки $K (3; -2)$ и $P (5; 2)$.

1) Найдите координаты точки, делящей отрезок $KP$ в отношении $3 : 2$, считая от точки $K$.

2) Составьте уравнение прямой $KP$.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек $A (-2; 3)$ и $B (6; 1)$.

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = -3x + 10$ и проходит через центр окружности $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$.

1. Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус. По условию, центр окружности находится в точке $M(1; -3)$, значит, $a=1$ и $b=-3$. Уравнение принимает вид $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = R^2$. Радиус окружности — это расстояние от центра $M$ до любой точки на окружности, например, до точки $K(-4; 2)$. Вычислим квадрат радиуса по формуле расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$: $R^2 = MK^2 = (-4 - 1)^2 + (2 - (-3))^2 = (-5)^2 + 5^2 = 25 + 25 = 50$. Подставив значение $R^2$ в уравнение окружности, получаем итоговое уравнение.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 50$.

2. В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $BD$. Пусть координаты вершины $D$ равны $(x_D; y_D)$. Найдем координаты середины диагонали $AC$, точки $O$: $x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{-2 + 2}{2} = 0$; $y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$. Таким образом, точка $O$ имеет координаты $(0; 2)$. Теперь запишем координаты середины диагонали $BD$: $x_O = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{4 + x_D}{2}$; $y_O = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{5 + y_D}{2}$. Приравнивая координаты, получаем систему уравнений: $\frac{4 + x_D}{2} = 0 \Rightarrow 4 + x_D = 0 \Rightarrow x_D = -4$. $\frac{5 + y_D}{2} = 2 \Rightarrow 5 + y_D = 4 \Rightarrow y_D = -1$. Координаты вершины $D$ — $(-4; -1)$.
Ответ: $D(-4; -1)$.

3. Расстояние $d$ от точки $M(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. В данном случае, точка $M(5; -3)$, то есть $x_0 = 5$, $y_0 = -3$. Уравнение прямой $3x - 4y + 11 = 0$, значит $A=3$, $B=-4$, $C=11$. Подставляем значения в формулу: $d = \frac{|3 \cdot 5 + (-4) \cdot (-3) + 11|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|15 + 12 + 11|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|38|}{\sqrt{25}} = \frac{38}{5} = 7,6$.
Ответ: 7,6.

4.

1) Координаты $(x; y)$ точки, делящей отрезок $KP$ в отношении $m:n$, считая от точки $K(x_K; y_K)$, вычисляются по формулам: $x = \frac{n \cdot x_K + m \cdot x_P}{m+n}$, $y = \frac{n \cdot y_K + m \cdot y_P}{m+n}$. По условию, отношение $m:n = 3:2$. Подставляем координаты точек $K(3; -2)$, $P(5; 2)$ и значения $m, n$: $x = \frac{2 \cdot 3 + 3 \cdot 5}{3+2} = \frac{6 + 15}{5} = \frac{21}{5} = 4,2$. $y = \frac{2 \cdot (-2) + 3 \cdot 2}{3+2} = \frac{-4 + 6}{5} = \frac{2}{5} = 0,4$. Искомая точка имеет координаты $(4,2; 0,4)$.
Ответ: $(4,2; 0,4)$.

2) Уравнение прямой, проходящей через две точки $K(x_K; y_K)$ и $P(x_P; y_P)$, имеет вид: $\frac{x - x_K}{x_P - x_K} = \frac{y - y_K}{y_P - y_K}$. Подставим координаты точек $K(3; -2)$ и $P(5; 2)$: $\frac{x - 3}{5 - 3} = \frac{y - (-2)}{2 - (-2)} \Rightarrow \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 2}{4}$. Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей: $2(x - 3) = y + 2 \Rightarrow 2x - 6 = y + 2 \Rightarrow 2x - y - 8 = 0$.
Ответ: $2x - y - 8 = 0$.

5. Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$. Так как точка принадлежит оси абсцисс, ее ордината равна нулю, то есть $y=0$. Координаты точки $C(x; 0)$. Точка $C$ равноудалена от точек $A(-2; 3)$ и $B(6; 1)$, что означает равенство расстояний $AC = BC$, или, что удобнее для вычислений, $AC^2 = BC^2$. Используем формулу квадрата расстояния между двумя точками $(d^2 = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)$: $AC^2 = (x - (-2))^2 + (0 - 3)^2 = (x+2)^2 + 9 = x^2 + 4x + 4 + 9 = x^2 + 4x + 13$. $BC^2 = (x - 6)^2 + (0 - 1)^2 = (x-6)^2 + 1 = x^2 - 12x + 36 + 1 = x^2 - 12x + 37$. Приравниваем полученные выражения: $x^2 + 4x + 13 = x^2 - 12x + 37$. $4x + 12x = 37 - 13 \Rightarrow 16x = 24 \Rightarrow x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1,5$. Координаты искомой точки $(1,5; 0)$.
Ответ: $(1,5; 0)$.

6. Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение данной прямой $y = -3x + 10$ имеет угловой коэффициент $k = -3$. Следовательно, искомая прямая также имеет угловой коэффициент $k = -3$ и ее уравнение имеет вид $y = -3x + b$. Чтобы найти $b$, нужно определить координаты точки, через которую проходит эта прямая, — центра окружности $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 1 = 0$. Приведем уравнение окружности к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, выделив полные квадраты: $(x^2 + 2x + 1) - 1 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 + (y-2)^2 = 4$. Из этого уравнения находим координаты центра окружности: $(-1; 2)$. Подставим координаты центра в уравнение искомой прямой $y = -3x + b$: $2 = -3(-1) + b \Rightarrow 2 = 3 + b \Rightarrow b = -1$. Таким образом, уравнение искомой прямой $y = -3x - 1$.
Ответ: $y = -3x - 1$.