Номер 7, страница 50 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 7

Обобщение и систематизация знаний учащихся

1. Найдите количество сторон правильного многоугольника, если:

1) его угол равен $168^\circ$;

2) угол, смежный с углом многоугольника, равен $18^\circ$.

2. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A (1; -1)$, $B (-4; 4)$, $C (-2; 6)$ и $D (3; 1)$ является прямоугольником.

3. Найдите уравнение окружности, которая является образом окружности

$(x + 3)^2 + (y - 9)^2 = 16$

при параллельном переносе на вектор $\vec{a} (-5; 4)$.

4. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BD$. Найдите стороны треугольника $ABC$, если $BD = m$, $\angle A = \alpha$, $\angle C = \gamma$.

5. Найдите косинус угла между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$, если векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$ перпендикулярны, $|\vec{m}| = 2$, $|\vec{n}| = 6$.

6. Стороны треугольника равны 9 см, 10 см и 17 см. Найдите наименьшую высоту треугольника, радиусы его вписанной и описанной окружностей.

1.

1)
Формула для внутреннего угла $\alpha_n$ правильного n-угольника: $\alpha_n = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. По условию, $\alpha_n = 168^\circ$.
$168 = \frac{(n-2) \cdot 180}{n}$
$168n = 180n - 360$
$12n = 360$
$n = 30$
Альтернативный способ — через внешний угол $\beta_n$. Внешний угол равен $180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$. Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна $360^\circ$. Для правильного n-угольника все внешние углы равны, поэтому $n \cdot \beta_n = 360^\circ$.
$n \cdot 12^\circ = 360^\circ$
$n = \frac{360}{12} = 30$.
Ответ: 30.

2)
Угол, смежный с углом многоугольника, является его внешним углом. Таким образом, внешний угол $\beta_n = 18^\circ$.
Используя формулу $n \cdot \beta_n = 360^\circ$, получаем:
$n \cdot 18^\circ = 360^\circ$
$n = \frac{360}{18} = 20$.
Ответ: 20.

2.
Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является прямоугольником, нужно показать, что это параллелограмм с равными диагоналями или с прямым углом.
Найдем координаты векторов, соответствующих сторонам четырехугольника:
$\vec{AB} = (-4 - 1; 4 - (-1)) = (-5; 5)$
$\vec{DC} = (-2 - 3; 6 - 1) = (-5; 5)$
Так как $\vec{AB} = \vec{DC}$, то стороны AB и DC параллельны и равны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.
Теперь найдем векторы диагоналей и их длины:
$\vec{AC} = (-2 - 1; 6 - (-1)) = (-3; 7)$
$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$
$\vec{BD} = (3 - (-4); 1 - 4) = (7; -3)$
$|\vec{BD}| = \sqrt{7^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$
Поскольку диагонали параллелограмма ABCD равны ($|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$), этот параллелограмм является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

3.
Уравнение исходной окружности $(x+3)^2 + (y-9)^2 = 16$. Центр этой окружности находится в точке $O_0(-3; 9)$, а ее радиус $R = \sqrt{16} = 4$.
При параллельном переносе на вектор $\vec{a}(-5; 4)$ центр окружности $O_0(x_0; y_0)$ перейдет в точку $O_1(x_1; y_1)$, координаты которой вычисляются по формулам: $x_1 = x_0 + a_x$, $y_1 = y_0 + a_y$.
$x_1 = -3 + (-5) = -8$
$y_1 = 9 + 4 = 13$
Новый центр — точка $O_1(-8; 13)$.
Параллельный перенос является движением, поэтому радиус окружности не изменяется: $R' = R = 4$.
Уравнение новой окружности: $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = (R')^2$.
$(x - (-8))^2 + (y - 13)^2 = 4^2$
$(x + 8)^2 + (y - 13)^2 = 16$.
Ответ: $(x + 8)^2 + (y - 13)^2 = 16$.

4.
В треугольнике ABC известны углы $\angle A = \alpha$ и $\angle C = \gamma$. Тогда $\angle B = 180^\circ - (\alpha + \gamma)$.
BD — биссектриса угла B, поэтому $\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2}$.
Рассмотрим $\triangle ABD$. По теореме синусов: $\frac{AB}{\sin(\angle BDA)} = \frac{BD}{\sin(\angle A)}$.
$\angle BDA = 180^\circ - \angle A - \angle ABD = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2}) = 90^\circ - \frac{\alpha-\gamma}{2}$.
$AB = \frac{BD \cdot \sin(90^\circ - \frac{\alpha-\gamma}{2})}{\sin(\alpha)} = \frac{m \cos(\frac{\alpha-\gamma}{2})}{\sin(\alpha)}$.
Рассмотрим $\triangle CBD$. По теореме синусов: $\frac{BC}{\sin(\angle BDC)} = \frac{BD}{\sin(\angle C)}$.
$\angle BDC = 180^\circ - \angle C - \angle CBD = 180^\circ - \gamma - (90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2}) = 90^\circ + \frac{\alpha-\gamma}{2}$.
$BC = \frac{BD \cdot \sin(90^\circ + \frac{\alpha-\gamma}{2})}{\sin(\gamma)} = \frac{m \cos(\frac{\alpha-\gamma}{2})}{\sin(\gamma)}$.
Сторону AC найдем как сумму отрезков $AC = AD + DC$.
Из $\triangle ABD$: $AD = \frac{BD \sin(\angle ABD)}{\sin(\angle A)} = \frac{m \sin(90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2})}{\sin(\alpha)} = \frac{m \cos(\frac{\alpha+\gamma}{2})}{\sin(\alpha)}$.
Из $\triangle CBD$: $DC = \frac{BD \sin(\angle CBD)}{\sin(\angle C)} = \frac{m \sin(90^\circ - \frac{\alpha+\gamma}{2})}{\sin(\gamma)} = \frac{m \cos(\frac{\alpha+\gamma}{2})}{\sin(\gamma)}$.
$AC = AD + DC = m \cos\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) \left(\frac{1}{\sin\alpha} + \frac{1}{\sin\gamma}\right) = m \cos\left(\frac{\alpha+\gamma}{2}\right) \frac{\sin\alpha + \sin\gamma}{\sin\alpha \sin\gamma}$.
Ответ: $AB = \frac{m \cos(\frac{\alpha - \gamma}{2})}{\sin(\alpha)}$, $BC = \frac{m \cos(\frac{\alpha - \gamma}{2})}{\sin(\gamma)}$, $AC = m \cos\left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right) \frac{\sin\alpha + \sin\gamma}{\sin\alpha \sin\gamma}$.

5.
По условию, векторы $\vec{a} = 2\vec{m} + 3\vec{n}$ и $\vec{b} = 6\vec{m} - \vec{n}$ перпендикулярны, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(2\vec{m} + 3\vec{n}) \cdot (6\vec{m} - \vec{n}) = 0$
$12(\vec{m} \cdot \vec{m}) - 2(\vec{m} \cdot \vec{n}) + 18(\vec{n} \cdot \vec{m}) - 3(\vec{n} \cdot \vec{n}) = 0$
$12|\vec{m}|^2 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3|\vec{n}|^2 = 0$
Подставим известные значения $|\vec{m}| = 2$ и $|\vec{n}| = 6$:
$12 \cdot 2^2 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 3 \cdot 6^2 = 0$
$48 + 16(\vec{m} \cdot \vec{n}) - 108 = 0$
$16(\vec{m} \cdot \vec{n}) = 60$
$\vec{m} \cdot \vec{n} = \frac{60}{16} = \frac{15}{4}$.
Косинус угла $\theta$ между векторами $\vec{m}$ и $\vec{n}$ находится по формуле: $\cos(\theta) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| |\vec{n}|}$.
$\cos(\theta) = \frac{15/4}{2 \cdot 6} = \frac{15/4}{12} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$.
Ответ: $\frac{5}{16}$.

6.
Даны стороны треугольника $a=9$ см, $b=10$ см, $c=17$ см.
Найдем площадь треугольника по формуле Герона.
Полупериметр $s = \frac{9+10+17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.
Площадь $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см$^2$.
Наименьшая высота треугольника проведена к наибольшей стороне ($c=17$ см). Найдем ее из формулы площади $S = \frac{1}{2} c \cdot h_c$:
$h_{min} = h_c = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 36}{17} = \frac{72}{17}$ см.
Радиус вписанной окружности $r$ найдем по формуле $r = \frac{S}{s}$:
$r = \frac{36}{18} = 2$ см.
Радиус описанной окружности $R$ найдем по формуле $R = \frac{abc}{4S}$:
$R = \frac{9 \cdot 10 \cdot 17}{4 \cdot 36} = \frac{1530}{144} = \frac{85}{8}$ см.
Ответ: наименьшая высота равна $\frac{72}{17}$ см, радиус вписанной окружности — 2 см, радиус описанной окружности — $\frac{85}{8}$ см.