Номер 2, страница 45 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 2

Правильные многоугольники

1. Найдите углы правильного 60-угольника.

2. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна $5\sqrt{3}$ см. Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.

3. Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $2\sqrt{3}$ см, а радиус окружности, вписанной в него, — 3 см. Найдите:

1) сторону многоугольника;

2) количество сторон многоугольника.

4. Сторона треугольника равна $4\sqrt{2}$ см, а прилежащие к ней углы равны $80^\circ$ и $55^\circ$. Найдите длины дуг, на которые вершины треугольника делят описанную около него окружность.

5. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ соединили середины сторон $AB$, $CD$ и $EF$. Найдите сторону образовавшегося при этом правильного треугольника, если $AB = a$.

6. В круговой сектор, радиус которого равен 4 см, а центральный угол составляет $120^\circ$, вписан круг. Найдите площадь этого круга.

1. Сумма углов правильного n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Так как в правильном многоугольнике все углы равны, то каждый угол равен $\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$.
Для 60-угольника $n=60$. Найдем его угол:
$\alpha = \frac{(60-2) \cdot 180^\circ}{60} = \frac{58 \cdot 180^\circ}{60} = 58 \cdot 3^\circ = 174^\circ$.
Ответ: $174^\circ$.

2. Сначала найдем радиус $R$ окружности, в которую вписан правильный треугольник.
Сторона правильного треугольника $a_3$, вписанного в окружность, связана с ее радиусом $R$ формулой $a_3 = R\sqrt{3}$.
По условию $a_3 = 5\sqrt{3}$ см. Тогда:
$5\sqrt{3} = R\sqrt{3}$
$R = 5$ см.
Теперь найдем сторону $b_6$ правильного шестиугольника, описанного около этой же окружности. Радиус вписанной в шестиугольник окружности равен радиусу данной окружности, то есть $r = R = 5$ см.
Сторона правильного шестиугольника $b_6$, описанного около окружности, связана с ее радиусом $r$ формулой $b_6 = 2r \cdot \tan(\frac{180^\circ}{6}) = 2r \cdot \tan(30^\circ)$.
$b_6 = 2 \cdot 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.

3. Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a_n$ — сторона правильного n-угольника.
По условию $R = 2\sqrt{3}$ см и $r = 3$ см.
Эти величины связаны соотношением $R^2 = r^2 + (\frac{a_n}{2})^2$, которое следует из прямоугольного треугольника, образованного радиусами и половиной стороны многоугольника.

1) сторону многоугольника;
Подставим известные значения в формулу:
$(2\sqrt{3})^2 = 3^2 + (\frac{a_n}{2})^2$
$4 \cdot 3 = 9 + \frac{a_n^2}{4}$
$12 = 9 + \frac{a_n^2}{4}$
$\frac{a_n^2}{4} = 3$
$a_n^2 = 12$
$a_n = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.
Ответ: $2\sqrt{3}$ см.

2) количество сторон многоугольника.
Радиусы $R$ и $r$ также связаны с количеством сторон $n$ через формулу $r = R \cos(\frac{180^\circ}{n})$.
Подставим наши значения:
$3 = 2\sqrt{3} \cos(\frac{180^\circ}{n})$
$\cos(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, это $30^\circ$.
$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$
$n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6$.
Ответ: 6 сторон.

4. Пусть дан треугольник ABC со стороной $AB=c=4\sqrt{2}$ см и прилежащими углами $\angle A = 80^\circ$ и $\angle B = 55^\circ$.
Найдем третий угол треугольника: $\angle C = 180^\circ - (80^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
По теореме синусов, $\frac{c}{\sin C} = 2R$, где $R$ - радиус описанной окружности.
$2R = \frac{4\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}/2} = 8$
$R = 4$ см.
Вершины треугольника делят окружность на три дуги. Градусная мера дуги, на которую опирается вписанный угол, в два раза больше этого угла.
Дуга AB, противолежащая углу C: $2 \cdot \angle C = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Дуга BC, противолежащая углу A: $2 \cdot \angle A = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$.
Дуга AC, противолежащая углу B: $2 \cdot \angle B = 2 \cdot 55^\circ = 110^\circ$.
Длина дуги $L$ вычисляется по формуле $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$, где $\alpha$ - градусная мера дуги.
$L_{AB} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 90^\circ}{180^\circ} = 2\pi$ см.
$L_{BC} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 160^\circ}{180^\circ} = \frac{32\pi}{9}$ см.
$L_{AC} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 110^\circ}{180^\circ} = \frac{22\pi}{9}$ см.
Ответ: $2\pi$ см, $\frac{32\pi}{9}$ см, $\frac{22\pi}{9}$ см.

5. Пусть O — центр правильного шестиугольника ABCDEF. Стороны AB, CD, EF не смежные. Соединив их середины, получим правильный треугольник. Пусть M, N, P — середины сторон AB, CD и EF соответственно.
Найдем сторону MN этого треугольника. Рассмотрим треугольник OMN. Он равнобедренный, т.к. OM=ON (расстояния от центра до середин несмежных сторон равны).
Найдем OM. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен стороне, $R=a$. OM — гипотенуза в прямоугольном треугольнике с катетами, равными апофеме шестиугольника $r = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ и половиной стороны $a/2$. Это неверно. Используем векторы. Пусть центр O — начало координат. Тогда $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$. Длина вектора OM: $|\vec{OM}|^2 = \frac{1}{4}(\vec{OA}+\vec{OB})^2 = \frac{1}{4}(|\vec{OA}|^2 + |\vec{OB}|^2 + 2\vec{OA}\cdot\vec{OB})$.
Так как $|\vec{OA}|=|\vec{OB}|=a$ и угол между ними $\angle AOB=60^\circ$, то:
$|\vec{OM}|^2 = \frac{1}{4}(a^2+a^2+2a^2\cos 60^\circ) = \frac{1}{4}(2a^2+2a^2\cdot\frac{1}{2}) = \frac{3a^2}{4}$.
$OM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Это радиус $R_{тр}$ окружности, описанной около треугольника MNP.
Сторона правильного треугольника $x$ связана с радиусом описанной окружности $R_{тр}$ формулой $x = R_{тр}\sqrt{3}$.
$x = \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{3a}{2}$.
Ответ: $\frac{3a}{2}$.

6. Пусть дан сектор AOB с центром O, радиусом $R_{сек} = OA = OB = 4$ см и углом $\angle AOB = 120^\circ$.
Пусть в сектор вписан круг с центром C и радиусом $r$. Центр C лежит на биссектрисе угла AOB. Пусть эта биссектриса пересекает дугу AB в точке F.
Тогда $\angle AOC = \angle BOC = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
Опустим перпендикуляр CD из центра C на радиус OA. CD = $r$. Треугольник ODC — прямоугольный.
В $\triangle ODC$ имеем: $\sin(\angle DOC) = \frac{CD}{OC}$, то есть $\sin(60^\circ) = \frac{r}{OC}$.
Отсюда $OC = \frac{r}{\sin(60^\circ)} = \frac{r}{\sqrt{3}/2} = \frac{2r}{\sqrt{3}}$.
Радиус сектора $OF = R_{сек} = 4$. Также $OF = OC + CF$. Так как F — точка касания, $CF = r$.
Получаем уравнение: $R_{сек} = OC + r$.
$4 = \frac{2r}{\sqrt{3}} + r = r(\frac{2}{\sqrt{3}}+1) = r(\frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$.
$r = \frac{4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{8\sqrt{3}-12}{4-3} = 8\sqrt{3}-12$ см.
Площадь этого круга $S = \pi r^2$.
$S = \pi (8\sqrt{3}-12)^2 = \pi ((8\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8\sqrt{3} \cdot 12 + 12^2)$
$S = \pi (192 - 192\sqrt{3} + 144) = \pi(336 - 192\sqrt{3})$ см$^2$.
Можно вынести общий множитель: $S = 48\pi(7 - 4\sqrt{3})$ см$^2$.
Ответ: $\pi(336 - 192\sqrt{3})$ см$^2$.