Номер 25, страница 43 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 25

Цилиндр. Конус. Шар

1. Радиус основания цилиндра равен 3 см, а высота — 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра и его объём.

2. Высота конуса равна 24 см, а образующая — 25 см. Найдите объём конуса и площадь его боковой поверхности.

3. Площадь поверхности шара уменьшили в 25 раз. Во сколько раз уменьшился его объём?

1. Дано: радиус основания цилиндра $r = 3$ см, высота $h = 4$ см.
Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется по формуле, которая складывается из площади двух оснований и площади боковой поверхности: $S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r + h)$.
Подставим известные значения в формулу:
$S_{полн} = 2 \pi \cdot 3 (3 + 4) = 6 \pi \cdot 7 = 42 \pi$ см².
Объём цилиндра вычисляется по формуле: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$.
Подставим известные значения:
$V = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = \pi \cdot 9 \cdot 4 = 36 \pi$ см³.
Ответ: площадь полной поверхности цилиндра равна $42 \pi$ см², а объём равен $36 \pi$ см³.

2. Дано: высота конуса $h = 24$ см, образующая $l = 25$ см.
Для нахождения объёма и площади боковой поверхности нам необходимо сначала найти радиус основания конуса $r$. Высота, радиус и образующая конуса образуют прямоугольный треугольник, где образующая является гипотенузой. По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + r^2$.
Выразим и найдем радиус: $r = \sqrt{l^2 - h^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{(25-24)(25+24)} = \sqrt{1 \cdot 49} = \sqrt{49} = 7$ см.
Теперь вычислим объём конуса по формуле: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$.
$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 7^2 \cdot 24 = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot 24 = \pi \cdot 49 \cdot 8 = 392 \pi$ см³.
Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: $S_{бок} = \pi r l$.
$S_{бок} = \pi \cdot 7 \cdot 25 = 175 \pi$ см².
Ответ: объём конуса равен $392 \pi$ см³, а площадь его боковой поверхности равна $175 \pi$ см².

3. Площадь поверхности шара $S$ и его объём $V$ зависят от его радиуса $R$ следующими формулами:
$S = 4 \pi R^2$
$V = \frac{4}{3} \pi R^3$
Пусть $S_1$ и $R_1$ — начальные площадь поверхности и радиус, а $S_2$ и $R_2$ — конечные. По условию, площадь поверхности уменьшилась в 25 раз, то есть $\frac{S_1}{S_2} = 25$.
Выразим это отношение через радиусы:
$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4 \pi R_1^2}{4 \pi R_2^2} = (\frac{R_1}{R_2})^2$.
Так как $(\frac{R_1}{R_2})^2 = 25$, то отношение радиусов равно $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{25} = 5$. Это значит, что радиус шара уменьшился в 5 раз.
Теперь найдем, во сколько раз уменьшился объём, то есть найдем отношение $\frac{V_1}{V_2}$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_1^3}{\frac{4}{3} \pi R_2^3} = (\frac{R_1}{R_2})^3$.
Подставим найденное отношение радиусов:
$\frac{V_1}{V_2} = 5^3 = 125$.
Следовательно, объём шара уменьшился в 125 раз.
Ответ: объём шара уменьшился в 125 раз.