Номер 18, страница 40 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 18

Преобразование (отображение) фигур

1. Преобразование $f$ четырёхугольника $ABCD$ таково, что $f(A) = C$, $f(B) = D$, $f(C) = B$, $f(D) = A$, а для любой точки $X$ четырёхугольника $ABCD$, отличной от точек $A$, $B$, $C$ и $D$, выполняется равенство $f(X) = X$. Является ли преобразование $f$ тождественным?

2. Опишите какое-нибудь преобразование фигуры, состоящей из всех точек сторон квадрата, при котором её образом является окружность, описанная около данного квадрата.

3. Каждой точке графика функции $y = -\frac{1}{x}$ ставится в соответствие её проекция на:

1) ось ординат;

2) прямую $y = -x$.

Является ли данное преобразование обратимым?

1. Тождественное преобразование (или отображение) — это преобразование, которое каждую точку фигуры оставляет на месте, то есть для любой точки $X$ выполняется равенство $f(X) = X$.

В условии задачи дано преобразование $f$ для четырёхугольника $ABCD$. Для вершин этого четырёхугольника указано: $f(A) = C$
$f(B) = D$
$f(C) = B$
$f(D) = A$

Поскольку $A$ и $C$ являются различными вершинами четырёхугольника, то точка $A$ не совпадает с точкой $C$, то есть $A \ne C$. Однако преобразование $f$ отображает точку $A$ в точку $C$. Следовательно, $f(A) \ne A$.

Так как нашлось хотя бы одна точка (в данном случае даже четыре — все вершины), которая не отображается в саму себя, данное преобразование $f$ не является тождественным.

Ответ: Преобразование $f$ не является тождественным.

2. Рассмотрим квадрат, центр которого находится в начале координат $O(0, 0)$. Пусть $P$ — произвольная точка, принадлежащая одной из сторон квадрата.

Искомым преобразованием может быть центральная проекция точек сторон квадрата на описанную около него окружность из центра квадрата.

Описание преобразования: Для любой точки $P$, лежащей на стороне квадрата, её образом $P'$ будет точка пересечения луча $OP$ (луча, выходящего из центра квадрата $O$ и проходящего через точку $P$) с описанной окружностью.

Каждая точка на сторонах квадрата (кроме центра, если бы он принадлежал фигуре) однозначно определяет луч, выходящий из центра. Этот луч пересекает описанную окружность в единственной точке. Таким образом, все точки сторон квадрата будут отображены на все точки окружности, и это отображение будет взаимно-однозначным.

Ответ: Преобразованием является центральная проекция из центра квадрата на описанную около него окружность.

3. Преобразование является обратимым, если оно является взаимно-однозначным, то есть разным точкам исходной фигуры соответствуют разные точки образа, и для любой точки образа существует единственная точка в исходной фигуре, которая в нее отображается.

1) ось ординат;

Проекция точки $P(x_0, y_0)$ на ось ординат (ось $y$) — это точка $P'(0, y_0)$. Для точки на графике функции $y = -\frac{1}{x}$ её координаты равны $(x, -\frac{1}{x})$ при $x \ne 0$. Её проекцией на ось ординат будет точка с координатами $(0, -\frac{1}{x})$.

Проверим, является ли это преобразование обратимым. Пусть две разные точки графика $P_1(x_1, -\frac{1}{x_1})$ и $P_2(x_2, -\frac{1}{x_2})$, где $x_1 \ne x_2$, отображаются в одну и ту же точку на оси ординат. Их проекции: $P'_1(0, -\frac{1}{x_1})$ и $P'_2(0, -\frac{1}{x_2})$. Если $P'_1 = P'_2$, то их ординаты должны быть равны: $-\frac{1}{x_1} = -\frac{1}{x_2}$ Это равенство выполняется только при $x_1 = x_2$. Но мы предположили, что точки разные, то есть $x_1 \ne x_2$. Следовательно, разные точки графика проецируются в разные точки на оси ординат.

Таким образом, преобразование является взаимно-однозначным отображением множества точек графика на ось ординат (за исключением точки $(0,0)$), а значит, оно обратимо.

Ответ: Да, данное преобразование является обратимым.

2) прямую $y = -x$.

Рассмотрим две различные точки на графике функции $y = -\frac{1}{x}$, например, $P_1(2, -\frac{1}{2})$ и $P_2(\frac{1}{2}, -2)$. Обе точки удовлетворяют уравнению функции.

Проекция точки на прямую — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Прямая, перпендикулярная прямой $y = -x$, имеет вид $y = x + b$.

Заметим, что график функции $y = -\frac{1}{x}$ (или $xy = -1$) симметричен относительно прямой $y = -x$. Это означает, что если точка $(a, b)$ лежит на графике, то и точка $(-b, -a)$, симметричная ей относительно прямой $y=-x$, тоже лежит на графике. Действительно, если $b = -\frac{1}{a}$, то для точки $(-b, -a)$ с координатами $x' = -b = \frac{1}{a}$ и $y' = -a$ выполняется равенство $y' = -a = -\frac{1}{1/a} = -\frac{1}{x'}$.

Наши точки $P_1(2, -\frac{1}{2})$ и $P_2(\frac{1}{2}, -2)$ как раз являются парой таких симметричных точек. При проецировании на ось симметрии, пара симметричных точек (не лежащих на самой оси) отображается в одну и ту же точку.

Таким образом, две разные точки $P_1(2, -\frac{1}{2})$ и $P_2(\frac{1}{2}, -2)$ имеют одну и ту же проекцию на прямую $y = -x$. Так как двум разным точкам исходной фигуры соответствует одна точка образа, преобразование не является взаимно-однозначным, а следовательно, не является обратимым.

Ответ: Нет, данное преобразование не является обратимым.