Номер 12, страница 38 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 12

Метод координат

1. Расстояние между точками A и B равно 2. Найдите геометрическое место точек X таких, что $XB^2 - XA^2 = 4$.

2. Катеты AC и BC прямоугольного треугольника ABC равны 30 см и 40 см соответственно. На медиане CM отметили точку F так, что $CF : FM = 1 : 4$. Найдите расстояние от точки F до середины катета BC.

3. Расстояние между точками A и B равно 5 см. Найдите геометрическое место точек C таких, что медиана BM треугольника ABC равна 7 см.

1.

Введем систему координат. Пусть точки А и В лежат на оси $Ox$. Так как расстояние между ними равно 2, разместим их симметрично относительно начала координат. Пусть координаты точки A будут $(-1, 0)$, а точки B - $(1, 0)$.

Пусть искомая точка X имеет координаты $(x, y)$.

Найдем квадраты расстояний $XA$ и $XB$:
$XA^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$XB^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$.

По условию задачи $XB^2 - XA^2 = 4$. Подставим полученные выражения в это уравнение:

$(x^2 - 2x + 1 + y^2) - (x^2 + 2x + 1 + y^2) = 4$.

Упростим уравнение:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - x^2 - 2x - 1 - y^2 = 4$.
$-4x = 4$.
$x = -1$.

Уравнение $x = -1$ задает прямую, параллельную оси $Oy$. В нашей системе координат точка A имеет координаты $(-1, 0)$, а отрезок AB лежит на оси $Ox$. Следовательно, прямая $x = -1$ проходит через точку A и перпендикулярна прямой AB.

Таким образом, искомое геометрическое место точек X — это прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная прямой AB.

Ответ: Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой AB.

2.

Введем прямоугольную систему координат. Так как треугольник ABC прямоугольный с прямым углом C, поместим вершину C в начало координат $(0, 0)$. Катеты AC и BC расположим на осях координат.

Пусть катет AC лежит на оси $Oy$, а катет BC — на оси $Ox$. Тогда, согласно условию, координаты вершин будут: C(0, 0), A(0, 30), B(40, 0).

CM — медиана, следовательно, M — середина гипотенузы AB. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 40}{2} = 20$.
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{30 + 0}{2} = 15$.
Таким образом, M(20, 15).

Точка F лежит на медиане CM и делит ее в отношении $CF : FM = 1 : 4$. Найдем координаты точки F, используя формулу деления отрезка в данном отношении. Так как C - начало координат, координаты F будут составлять $1/(1+4) = 1/5$ от координат M:

$x_F = \frac{1}{5} x_M = \frac{1}{5} \cdot 20 = 4$.
$y_F = \frac{1}{5} y_M = \frac{1}{5} \cdot 15 = 3$.
Итак, F(4, 3).

Нам нужно найти расстояние от точки F до середины катета BC. Обозначим середину BC как K. Найдем координаты точки K:

$x_K = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{40 + 0}{2} = 20$.
$y_K = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{0 + 0}{2} = 0$.
Таким образом, K(20, 0).

Теперь найдем расстояние FK по формуле расстояния между двумя точками:

$FK = \sqrt{(x_K - x_F)^2 + (y_K - y_F)^2} = \sqrt{(20 - 4)^2 + (0 - 3)^2}$.
$FK = \sqrt{16^2 + (-3)^2} = \sqrt{256 + 9} = \sqrt{265}$.

Ответ: $\sqrt{265}$ см.

3.

Введем систему координат. Расположим точки A и B на оси $Ox$. Пусть точка A имеет координаты $(0, 0)$, а точка B — $(5, 0)$. Расстояние между ними равно 5, что соответствует условию.

Пусть искомая точка C имеет координаты $(x, y)$.

BM — медиана треугольника ABC, следовательно, точка M является серединой стороны AC. Найдем координаты точки M:

$x_M = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$.
$y_M = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{0 + y}{2} = \frac{y}{2}$.
Таким образом, M$(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$.

Длина медианы BM равна 7. Запишем квадрат длины отрезка BM, используя координаты точек B$(5, 0)$ и M$(\frac{x}{2}, \frac{y}{2})$:

$BM^2 = (x_M - x_B)^2 + (y_M - y_B)^2 = 7^2$.
$(\frac{x}{2} - 5)^2 + (\frac{y}{2} - 0)^2 = 49$.

Упростим полученное уравнение:

$(\frac{x - 10}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2 = 49$.
$\frac{(x-10)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 49$.

Умножим обе части уравнения на 4:

$(x-10)^2 + y^2 = 196$.
$(x-10)^2 + y^2 = 14^2$.

Это уравнение окружности с центром в точке O(10, 0) и радиусом $R = 14$.

Опишем положение центра O(10, 0) относительно точек A(0, 0) и B(5, 0). Все три точки лежат на одной прямой (оси $Ox$). Точка B является серединой отрезка AO, так как ее координаты $(\frac{0+10}{2}, \frac{0+0}{2}) = (5, 0)$ совпадают с координатами B.

Следовательно, искомое геометрическое место точек C — это окружность с радиусом 14 см и центром в точке O, которая лежит на прямой AB, причем B является серединой отрезка AO.

Ответ: Окружность с радиусом 14 см и центром в точке O, такой, что точка B является серединой отрезка AO.