Номер 6, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке F, $\angle AFC = 150^{\circ}$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 24 см вписан правильный треугольник. В этот треугольник вписана окружность, а в окружность — правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника.

3. В правильном восьмиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$ диагональ $A_1A_3$ равна $4 + 2\sqrt{2}$ см. Найдите сторону восьмиугольника и диагонали $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1.

Пусть дан правильный $n$-угольник. Обозначим его последовательные вершины как $A, B, C, D$. Тогда $AB, BC, CD$ — три последовательные стороны.

Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $F$. Рассмотрим треугольник $FBC$.

Углы $\angle FBC$ и $\angle FCB$ являются внешними углами правильного $n$-угольника. Величина внешнего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле:

$\beta = \frac{360^\circ}{n}$

Следовательно, $\angle FBC = \angle FCB = \frac{360^\circ}{n}$.

Сумма углов в треугольнике $FBC$ равна $180^\circ$:

$\angle BFC + \angle FBC + \angle FCB = 180^\circ$

Поскольку точки $A, B, F$ лежат на одной прямой, а также точки $D, C, F$, то $\angle BFC$ совпадает с данным углом $\angle AFC = 150^\circ$. Подставим известные значения в уравнение:

$150^\circ + \frac{360^\circ}{n} + \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ$

$2 \cdot \frac{360^\circ}{n} = 180^\circ - 150^\circ$

$\frac{720^\circ}{n} = 30^\circ$

$n = \frac{720}{30} = 24$

Таким образом, многоугольник имеет 24 стороны.

Ответ: 24 стороны.

2.

1. Найдем радиус окружности, вписанной в правильный треугольник.

Пусть $R_1$ — радиус исходной окружности, в которую вписан правильный треугольник. По условию, $R_1 = 24$ см.

Радиус $r_2$ окружности, вписанной в правильный треугольник, связан с радиусом $R_1$ описанной окружности соотношением:

$r_2 = R_1 \cos(\frac{180^\circ}{3}) = R_1 \cos(60^\circ) = R_1 \cdot \frac{1}{2}$

$r_2 = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

2. Найдем сторону правильного шестиугольника.

Правильный шестиугольник вписан в окружность радиуса $r_2$. Таким образом, $r_2$ является радиусом описанной окружности для шестиугольника. Обозначим его как $R_{шест} = r_2 = 12$ см.

Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу этой окружности:

$a_6 = R_{шест}$

$a_6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

3.

Пусть $R$ — радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$, и $a$ — его сторона.

1. Найдем радиус описанной окружности $R$.

Диагональ $A_1A_3$ соединяет вершины через одну. Центральный угол, опирающийся на дугу $A_1A_3$, равен $2 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 90^\circ$. Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle A_1OA_3$ (где $O$ — центр восьмиугольника) с боковыми сторонами $OA_1 = OA_3 = R$ и углом между ними $\angle A_1OA_3 = 90^\circ$. По теореме Пифагора (или по теореме косинусов):

$(A_1A_3)^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

$A_1A_3 = R\sqrt{2}$

По условию $A_1A_3 = 4 + 2\sqrt{2}$ см.

$R\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$

$R = \frac{4 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} + 2$ см.

2. Найдем сторону восьмиугольника $a$.

Сторона правильного $n$-угольника связана с радиусом описанной окружности формулой $a_n = 2R\sin(\frac{180^\circ}{n})$. Для восьмиугольника ($n=8$):

$a = 2R\sin(\frac{180^\circ}{8}) = 2R\sin(22.5^\circ)$

Используя формулу половинного угла $\sin(\frac{\alpha}{2}) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$, найдем $\sin(22.5^\circ)$:

$\sin(22.5^\circ) = \sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

$a = 2(2\sqrt{2}+2) \cdot \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} = (2\sqrt{2}+2)\sqrt{2-\sqrt{2}} = 2(\sqrt{2}+1)\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Чтобы упростить, возведем в квадрат: $a^2 = 4(\sqrt{2}+1)^2(2-\sqrt{2}) = 4(2+2\sqrt{2}+1)(2-\sqrt{2}) = 4(3+2\sqrt{2})(2-\sqrt{2}) = 4(6-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4) = 4(2+\sqrt{2})$.

$a = \sqrt{4(2+\sqrt{2})} = 2\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.

3. Найдем диагональ $A_1A_4$.

Центральный угол, опирающийся на дугу $A_1A_4$, равен $3 \cdot \frac{360^\circ}{8} = 135^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle A_1OA_4$:

$(A_1A_4)^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos(135^\circ) = 2R^2(1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = R^2(2+\sqrt{2})$

$A_1A_4 = R\sqrt{2+\sqrt{2}} = (2\sqrt{2}+2)\sqrt{2+\sqrt{2}} = 2(\sqrt{2}+1)\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.

4. Найдем диагональ $A_1A_5$.

Эта диагональ проходит через центр окружности и является ее диаметром.

$A_1A_5 = 2R = 2(2\sqrt{2}+2) = 4\sqrt{2}+4$ см.

Ответ: сторона восьмиугольника равна $2\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см, диагональ $A_1A_4$ равна $2(\sqrt{2}+1)\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см, диагональ $A_1A_5$ равна $4+4\sqrt{2}$ см.