Номер 10, страница 37 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10
Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:
1) C (7; -2) и D (4; -2);
2) M (-7; 5) и K (-7; -2);
3) A (2; -5) и B (-1; 2).

2. Докажите, что окружность $(x - 5)^2 + (y + 4)^2 = 37$ и прямая $x - y = 2$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 13 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 10.

1) Даны точки $C(7; -2)$ и $D(4; -2)$.
Поскольку ординаты (координаты $y$) этих точек одинаковы и равны $-2$, прямая, проходящая через эти точки, является горизонтальной, параллельной оси абсцисс.
Ее уравнение имеет вид $y = c$, где $c$ — постоянная величина. В данном случае $c = -2$.
Таким образом, уравнение прямой: $y = -2$.
Ответ: $y = -2$.

2) Даны точки $M(-7; 5)$ и $K(-7; -2)$.
Поскольку абсциссы (координаты $x$) этих точек одинаковы и равны $-7$, прямая, проходящая через эти точки, является вертикальной, параллельной оси ординат.
Ее уравнение имеет вид $x = c$, где $c$ — постоянная величина. В данном случае $c = -7$.
Таким образом, уравнение прямой: $x = -7$.
Ответ: $x = -7$.

3) Даны точки $A(2; -5)$ и $B(-1; 2)$.
Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
Подставим координаты точек A и B:
$\frac{x - 2}{-1 - 2} = \frac{y - (-5)}{2 - (-5)}$
$\frac{x - 2}{-3} = \frac{y + 5}{7}$
Используя свойство пропорции, перемножим крест-накрест:
$7(x - 2) = -3(y + 5)$
$7x - 14 = -3y - 15$
Перенесем все члены в левую часть уравнения, чтобы получить общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$:
$7x + 3y - 14 + 15 = 0$
$7x + 3y + 1 = 0$
Ответ: $7x + 3y + 1 = 0$.

2. Дана окружность $(x-5)^2 + (y+4)^2 = 37$ и прямая $x - y = 2$.
Доказательство пересечения:
Центр окружности находится в точке $O(5; -4)$, а ее радиус $R = \sqrt{37}$.
Найдем расстояние $d$ от центра окружности до прямой $x - y - 2 = 0$. Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
$d = \frac{|1 \cdot 5 + (-1) \cdot (-4) - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 + 4 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$.
Сравним квадрат расстояния $d^2$ с квадратом радиуса $R^2$:
$d^2 = (\frac{7}{\sqrt{2}})^2 = \frac{49}{2} = 24.5$.
$R^2 = (\sqrt{37})^2 = 37$.
Поскольку $d^2 < R^2$ (т.е. $24.5 < 37$), расстояние от центра до прямой меньше радиуса. Следовательно, прямая пересекает окружность в двух точках.

Нахождение координат точек пересечения:
Для этого необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} (x-5)^2 + (y+4)^2 = 37 \\ x - y = 2 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$((y+2)-5)^2 + (y+4)^2 = 37$
$(y-3)^2 + (y+4)^2 = 37$
Раскроем скобки:
$(y^2 - 6y + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 37$
$2y^2 + 2y + 25 = 37$
$2y^2 + 2y - 12 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$y^2 + y - 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $y_1 = 2$ и $y_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = y + 2$:
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 2 = 4$. Первая точка пересечения: $(4; 2)$.
2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 2 = -1$. Вторая точка пересечения: $(-1; -3)$.
Ответ: Прямая и окружность пересекаются, точки пересечения: $(4; 2)$ и $(-1; -3)$.

3. Пусть центр искомой окружности имеет координаты $(x_c; y_c)$. Радиус окружности по условию $R=13$. Окружность отсекает на оси абсцисс (прямая $y=0$) хорду длиной 10.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуют:

• гипотенуза — радиус, проведенный к одному из концов хорды (длина $R=13$);
• первый катет — перпендикуляр, опущенный из центра окружности на ось абсцисс. Его длина равна модулю ординаты центра, т.е. $|y_c|$;
• второй катет — половина длины хорды, т.е. $10 / 2 = 5$.

По теореме Пифагора:
$|y_c|^2 + 5^2 = 13^2$
$y_c^2 + 25 = 169$
$y_c^2 = 169 - 25$
$y_c^2 = 144$
Отсюда $y_c = \pm\sqrt{144}$, то есть $y_c = 12$ или $y_c = -12$.
Координата $x_c$ центра может быть любой, так как условие накладывается только на положение окружности относительно оси $x$.
Следовательно, геометрическое место центров таких окружностей — это две прямые, параллельные оси абсцисс, задаваемые уравнениями $y = 12$ и $y = -12$.
Ответ: $y = 12$ и $y = -12$.