Номер 7, страница 36 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 7

Длина окружности.

Площадь круга

1. Радиус круга уменьшили на $ \frac{1}{6} $ его длины. Во сколько раз уменьшилась:

1) длина окружности;

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

2. Диаметр колеса мотоцикла равен 0,8 м. Найдите скорость мотоцикла в километрах в час, если его колесо за одну минуту делает 200 оборотов. Ответ округлите до единиц.

3. Радиус круга равен 8 см. По одну сторону от его центра проведены две параллельные хорды, равные соответственно сторонам квадрата и правильного шестиугольника, вписанных в этот круг. Найдите площадь части круга, находящейся между хордами.

1. Пусть первоначальный радиус круга равен $R_1$. После уменьшения на $\frac{1}{6}$ своей длины новый радиус $R_2$ стал равен:

$R_2 = R_1 - \frac{1}{6}R_1 = \frac{5}{6}R_1$.

1) длина окружности;

Длина первоначальной окружности вычисляется по формуле $C_1 = 2\pi R_1$. Новая длина окружности равна $C_2 = 2\pi R_2$. Подставим выражение для $R_2$:

$C_2 = 2\pi \left(\frac{5}{6}R_1\right) = \frac{5}{6} (2\pi R_1) = \frac{5}{6}C_1$.

Чтобы найти, во сколько раз уменьшилась длина окружности, найдем отношение первоначальной длины к новой:

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{C_1}{\frac{5}{6}C_1} = \frac{6}{5} = 1,2$.

Ответ: длина окружности уменьшилась в 1,2 раза.

2) площадь круга, ограниченного данной окружностью?

Площадь первоначального круга вычисляется по формуле $S_1 = \pi R_1^2$. Новая площадь круга равна $S_2 = \pi R_2^2$. Подставим выражение для $R_2$:

$S_2 = \pi \left(\frac{5}{6}R_1\right)^2 = \pi \left(\frac{25}{36}R_1^2\right) = \frac{25}{36}(\pi R_1^2) = \frac{25}{36}S_1$.

Найдем отношение первоначальной площади к новой:

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_1}{\frac{25}{36}S_1} = \frac{36}{25} = 1,44$.

Ответ: площадь круга уменьшилась в 1,44 раза.

2. Сначала найдем длину окружности колеса. Диаметр колеса $D = 0,8$ м. Длина окружности (расстояние, проходимое за один оборот) вычисляется по формуле $C = \pi D$.

$C = \pi \cdot 0,8 = 0,8\pi$ м.

Колесо делает 200 оборотов за одну минуту. Найдем расстояние, которое проезжает мотоцикл за одну минуту:

$S_{мин} = 200 \cdot C = 200 \cdot 0,8\pi = 160\pi$ м.

Таким образом, скорость мотоцикла составляет $160\pi$ метров в минуту. Теперь переведем эту скорость в километры в час. В 1 километре 1000 метров, а в 1 часе 60 минут.

$v = \frac{160\pi \text{ м}}{1 \text{ мин}} = \frac{160\pi / 1000 \text{ км}}{1 / 60 \text{ ч}} = \frac{0,16\pi \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 0,16\pi \cdot 60 \text{ км/ч} = 9,6\pi$ км/ч.

Вычислим приближенное значение скорости, используя $\pi \approx 3,14159$:

$v \approx 9,6 \cdot 3,14159 \approx 30,159$ км/ч.

Согласно условию, ответ необходимо округлить до единиц.

$v \approx 30$ км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

3. Радиус круга $R = 8$ см. В этот круг вписаны квадрат и правильный шестиугольник. Две параллельные хорды равны сторонам этих многоугольников и расположены по одну сторону от центра.

Длина стороны вписанного в круг квадрата ($a_4$) равна $a_4 = R\sqrt{2}$.

$a_4 = 8\sqrt{2}$ см.

Длина стороны вписанного в круг правильного шестиугольника ($a_6$) равна радиусу круга $a_6 = R$.

$a_6 = 8$ см.

Площадь части круга, находящейся между двумя параллельными хордами с одной стороны от центра, равна разности площадей двух соответствующих сегментов. Площадь сегмента находится как разность площади сектора и площади треугольника, образованного хордой и двумя радиусами.

Найдем площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_4$. Центральный угол, соответствующий стороне вписанного квадрата, равен $\alpha_4 = 90^\circ$ или $\frac{\pi}{2}$ радиан.

$S_{сегм4} = S_{сект4} - S_{\triangle4} = \frac{1}{4}\pi R^2 - \frac{1}{2}R^2\sin(90^\circ) = \frac{1}{4}\pi(8^2) - \frac{1}{2}(8^2) \cdot 1 = 16\pi - 32$ см$^2$.

Найдем площадь сегмента, отсекаемого хордой $a_6$. Центральный угол, соответствующий стороне вписанного шестиугольника, равен $\alpha_6 = 60^\circ$ или $\frac{\pi}{3}$ радиан.

$S_{сегм6} = S_{сект6} - S_{\triangle6} = \frac{1}{6}\pi R^2 - \frac{1}{2}R^2\sin(60^\circ) = \frac{1}{6}\pi(8^2) - \frac{1}{2}(8^2)\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{64\pi}{6} - 16\sqrt{3} = \frac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3}$ см$^2$.

Поскольку хорда $a_4$ длиннее хорды $a_6$, она расположена ближе к центру. Искомая площадь равна разности площадей большего и меньшего сегментов.

$S = S_{сегм4} - S_{сегм6} = (16\pi - 32) - \left(\frac{32\pi}{3} - 16\sqrt{3}\right) = 16\pi - 32 - \frac{32\pi}{3} + 16\sqrt{3}$.

Приведем подобные слагаемые:

$S = \left(\frac{48\pi}{3} - \frac{32\pi}{3}\right) + 16\sqrt{3} - 32 = \frac{16\pi}{3} + 16\sqrt{3} - 32$.

Ответ: $(\frac{16\pi}{3} + 16\sqrt{3} - 32)$ см$^2$.