Номер 4, страница 35 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самастоятельная работа № 4

Решение треугольников

1. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB = 5$ см, $BC = 7$ см, $AC = 9$ см;

2) $AB = 10$ см, $AC = 9$ см, $\angle B = 15^\circ$.

2. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 10$ см, $\angle ACB = 34^\circ$, $\angle ACD = 68^\circ$. Найдите основания и диагональ трапеции.

3. Большая сторона треугольника равна 8 см. В треугольник вписана окружность, которая делится точками касания со сторонами на дуги, градусные меры которых относятся как $4 : 5 : 6$. Найдите неизвестные стороны треугольника.

Даны три стороны треугольника: $c = AB = 5$ см, $a = BC = 7$ см, $b = AC = 9$ см. Для нахождения углов воспользуемся теоремой косинусов.

Найдем угол $A$, противолежащий стороне $a=BC$:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{9^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{81 + 25 - 49}{90} = \frac{57}{90} = \frac{19}{30}$
$\angle A = \arccos\left(\frac{19}{30}\right) \approx 50.70^\circ$

Найдем угол $B$, противолежащий стороне $b=AC$:
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{7^2 + 5^2 - 9^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 81}{70} = \frac{-7}{70} = -0.1$
$\angle B = \arccos(-0.1) \approx 95.74^\circ$

Найдем угол $C$, противолежащий стороне $c=AB$:
$\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B \approx 180^\circ - 50.70^\circ - 95.74^\circ \approx 33.56^\circ$
Проверка по теореме косинусов:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$
$\angle C = \arccos\left(\frac{5}{6}\right) \approx 33.56^\circ$
Все углы найдены верно.

Ответ: $\angle A \approx 50.70^\circ$, $\angle B \approx 95.74^\circ$, $\angle C \approx 33.56^\circ$.

Даны две стороны и угол, не лежащий между ними: $c = AB = 10$ см, $b = AC = 9$ см, $\angle B = 15^\circ$. Это так называемый "неоднозначный случай" в решении треугольников. Используем теорему синусов, чтобы найти угол $C$.

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin C = \frac{c \cdot \sin B}{b} = \frac{10 \cdot \sin 15^\circ}{9}$
Используя значение $\sin 15^\circ \approx 0.2588$, получаем:
$\sin C \approx \frac{10 \cdot 0.2588}{9} \approx 0.2876$

Поскольку $0 < \sin C < 1$, существует два возможных значения для угла $C$: острый угол $C_1$ и тупой угол $C_2 = 180^\circ - C_1$.
Рассмотрим оба случая.

Случай 1: Угол $C_1$ острый.
$C_1 = \arcsin(0.2876) \approx 16.71^\circ$
Тогда третий угол $A_1 = 180^\circ - B - C_1 \approx 180^\circ - 15^\circ - 16.71^\circ = 148.29^\circ$.
Найдем сторону $a_1 = BC$ по теореме синусов:
$\frac{a_1}{\sin A_1} = \frac{b}{\sin B} \implies a_1 = \frac{b \sin A_1}{\sin B} \approx \frac{9 \cdot \sin 148.29^\circ}{\sin 15^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.5256}{0.2588} \approx 18.28$ см.

Случай 2: Угол $C_2$ тупой.
$C_2 = 180^\circ - C_1 \approx 180^\circ - 16.71^\circ = 163.29^\circ$
Тогда третий угол $A_2 = 180^\circ - B - C_2 \approx 180^\circ - 15^\circ - 163.29^\circ = 1.71^\circ$.
Найдем сторону $a_2 = BC$ по теореме синусов:
$a_2 = \frac{b \sin A_2}{\sin B} \approx \frac{9 \cdot \sin 1.71^\circ}{\sin 15^\circ} \approx \frac{9 \cdot 0.0298}{0.2588} \approx 1.04$ см.

Ответ: Существует два возможных треугольника.
1. $BC \approx 18.28$ см, $\angle C \approx 16.71^\circ$, $\angle A \approx 148.29^\circ$.
2. $BC \approx 1.04$ см, $\angle C \approx 163.29^\circ$, $\angle A \approx 1.71^\circ$.

Поскольку боковые стороны трапеции $ABCD$ равны ($AB = CD = 10$ см), трапеция является равнобедренной. В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны, а диагонали равны.

Найдем угол $\angle BCD$:
$\angle BCD = \angle ACB + \angle ACD = 34^\circ + 68^\circ = 102^\circ$.
Так как трапеция равнобедренная, $\angle ABC = \angle BCD = 102^\circ$.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.
$\angle CDA = \angle DAB = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Мы знаем сторону $AB = 10$ см и два угла: $\angle ABC = 102^\circ$, $\angle ACB = 34^\circ$.
Найдем третий угол: $\angle BAC = 180^\circ - 102^\circ - 34^\circ = 44^\circ$.
Применим теорему синусов для $\triangle ABC$: $\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$.
$\frac{10}{\sin 34^\circ} = \frac{AC}{\sin 102^\circ} = \frac{BC}{\sin 44^\circ}$.

Найдем диагональ $AC$:
$AC = \frac{10 \cdot \sin 102^\circ}{\sin 34^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.9781}{0.5592} \approx 17.49$ см.
Найдем меньшее основание $BC$:
$BC = \frac{10 \cdot \sin 44^\circ}{\sin 34^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.6947}{0.5592} \approx 12.42$ см.

Теперь найдем большее основание $AD$. Рассмотрим треугольник $ACD$. Мы знаем $CD = 10$ см, $AC \approx 17.49$ см, $\angle ACD = 68^\circ$, $\angle CDA = 78^\circ$.
Найдем угол $\angle CAD = 180^\circ - 68^\circ - 78^\circ = 34^\circ$.
Применим теорему синусов для $\triangle ACD$: $\frac{AD}{\sin \angle ACD} = \frac{CD}{\sin \angle CAD}$.
$\frac{AD}{\sin 68^\circ} = \frac{10}{\sin 34^\circ}$.
$AD = \frac{10 \cdot \sin 68^\circ}{\sin 34^\circ} \approx \frac{10 \cdot 0.9272}{0.5592} \approx 16.58$ см.

Ответ: Основания трапеции равны $BC \approx 12.42$ см и $AD \approx 16.58$ см, диагональ $AC = BD \approx 17.49$ см.

Пусть точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как $4:5:6$. Обозначим их как $4x, 5x, 6x$.
Сумма градусных мер этих дуг равна $360^\circ$:
$4x + 5x + 6x = 360^\circ \implies 15x = 360^\circ \implies x = 24^\circ$.
Таким образом, градусные меры дуг равны:
$4 \cdot 24^\circ = 96^\circ$
$5 \cdot 24^\circ = 120^\circ$
$6 \cdot 24^\circ = 144^\circ$.

Угол треугольника, образованный двумя касательными, проведенными из одной вершины, связан с центральным углом, опирающимся на дугу между точками касания. Величина угла треугольника равна $180^\circ$ минус величина соответствующего центрального угла (которая равна градусной мере дуги).
Найдем углы треугольника:
$\angle A = 180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$
$\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
$\angle C = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$
(Наименьшая дуга соответствует наибольшему углу, и наоборот).
Проверка: $36^\circ + 60^\circ + 84^\circ = 180^\circ$.

По условию, большая сторона треугольника равна 8 см. В треугольнике большая сторона лежит против большего угла. Наибольший угол - $84^\circ$, значит, сторона, противолежащая ему, равна 8 см. Пусть это будет сторона $c$.
Итак, у нас есть треугольник с углами $A=36^\circ, B=60^\circ, C=84^\circ$ и стороной $c=8$ см. Найдем неизвестные стороны $a$ и $b$ с помощью теоремы синусов:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 36^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{8}{\sin 84^\circ}$

Найдем сторону $a$:
$a = \frac{8 \cdot \sin 36^\circ}{\sin 84^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.5878}{0.9945} \approx 4.73$ см.
Найдем сторону $b$:
$b = \frac{8 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 84^\circ} \approx \frac{8 \cdot 0.8660}{0.9945} \approx 6.97$ см.

Ответ: Неизвестные стороны треугольника равны примерно $4.73$ см и $6.97$ см.