Номер 23, страница 32 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 23

Гомотетия. Подобие фигур

1. Стороны двух квадратов относятся как $2 : 5$, а площадь большего из них равна 100 см^2. Найдите площадь меньшего квадрата.

2. Отметьте точки $M$ и $N$. Найдите такую точку $K$, чтобы точка $M$ была образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -\frac{1}{2}$;

3. Даны прямая $b$, точка $A$ и окружность с центром в точке $O$ (рис. 12). Через точку $A$ проведите прямую, пересекающую окружность и прямую $b$ в точках $C$ и $D$ соответственно так, чтобы $CA : AD = 3 : 4$.

Рис. 12

1.

Пусть стороны меньшего и большего квадратов равны $a_1$ и $a_2$ соответственно, а их площади - $S_1$ и $S_2$.

По условию, стороны квадратов относятся как $2:5$, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{5}$.

Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Квадраты являются подобными фигурами, а отношение их сторон - это и есть коэффициент подобия $k$. В данном случае $k = \frac{2}{5}$ (отношение стороны меньшего квадрата к стороне большего).

Следовательно, отношение их площадей равно:

$\frac{S_1}{S_2} = k^2 = (\frac{2}{5})^2 = \frac{4}{25}$

Площадь большего квадрата известна: $S_2 = 100 \text{ см}^2$.

Подставим это значение в формулу и найдем площадь меньшего квадрата $S_1$:

$\frac{S_1}{100} = \frac{4}{25}$

$S_1 = 100 \cdot \frac{4}{25} = 4 \cdot 4 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ: 16 см².

2.

Точка $M$ является образом точки $N$ при гомотетии с центром $K$ и коэффициентом $k$. Это означает, что выполняется векторное равенство $\vec{KM} = k \cdot \vec{KN}$. Из этого равенства следует, что точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

1) k = 3;

В этом случае $\vec{KM} = 3 \cdot \vec{KN}$.

Так как $k = 3 > 0$, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ сонаправлены. Это значит, что точка $N$ лежит на отрезке $KM$.

Длина отрезка $KM$ в 3 раза больше длины отрезка $KN$: $|KM| = 3|KN|$.

Поскольку точки лежат на одной прямой и $N$ находится между $K$ и $M$, то $|KM| = |KN| + |NM|$.

Подставляя $|KM| = 3|KN|$, получаем: $3|KN| = |KN| + |NM|$, откуда $2|KN| = |NM|$, или $|KN| = \frac{1}{2}|NM|$.

Построение: Чтобы найти точку $K$, нужно построить прямую, проходящую через точки $M$ и $N$. На этой прямой от точки $N$ в сторону, противоположную точке $M$, отложить отрезок $NK$, равный половине длины отрезка $NM$. Полученная точка $K$ и будет искомым центром гомотетии.

Ответ: Точка K лежит на прямой MN, причем точка N находится между точками K и M, а расстояние KN равно половине расстояния NM.

2) k = -1/2;

В этом случае $\vec{KM} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{KN}$.

Так как $k = -1/2 < 0$, векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ противоположно направлены. Это значит, что центр гомотетии, точка $K$, лежит на отрезке $MN$.

Соотношение длин отрезков: $|KM| = |-\frac{1}{2}| \cdot |KN| = \frac{1}{2}|KN|$.

Точка $K$ делит отрезок $MN$ в отношении $|MK|:|KN| = 1:2$, считая от точки $M$.

Построение: Чтобы найти точку $K$, нужно разделить отрезок $MN$ на 3 равные части. Точка $K$ будет первой точкой деления, если считать от точки $M$.

Ответ: Точка K лежит на отрезке MN и делит его в отношении 1:2, считая от точки M.

3.

Пусть искомая прямая $l$ проходит через точку $A$, пересекает окружность в точке $C$ и прямую $b$ в точке $D$. По условию, должно выполняться соотношение длин отрезков $CA : AD = 3 : 4$.

Это соотношение можно трактовать как гомотетическое преобразование, переводящее точку $D$ в точку $C$. Центром этой гомотетии является точка $A$.

Рассмотрим два возможных случая расположения точек на прямой $l$:

1. Точка $C$ лежит между $A$ и $D$. В этом случае векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ сонаправлены. Из $CA/AD = 3/4$ следует, что $\vec{AC} = \frac{3}{4} \vec{AD}$. Точка $C$ является образом точки $D$ при гомотетии $H_1$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k_1 = \frac{3}{4}$.

2. Точка $A$ лежит между $C$ и $D$. В этом случае векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ противоположно направлены. Из $CA/AD = 3/4$ следует, что $\vec{AC} = -\frac{3}{4} \vec{AD}$. Точка $C$ является образом точки $D$ при гомотетии $H_2$ с центром в точке $A$ и коэффициентом $k_2 = -\frac{3}{4}$.

Поскольку точка $D$ должна лежать на прямой $b$, то ее образ, точка $C$, должна лежать на образе прямой $b$ при соответствующей гомотетии. Образом прямой при гомотетии является прямая, ей параллельная (если центр гомотетии не лежит на прямой).

Таким образом, задача сводится к построению образов прямой $b$ при гомотетиях $H_1$ и $H_2$, и нахождению точек пересечения этих образов с данной окружностью.

Алгоритм построения:

1. Построение для $k_1 = 3/4$:

а) Возьмем на прямой $b$ произвольную точку $P$.

б) Построим ее образ $P_1$ при гомотетии $H_1$. Для этого соединим точки $A$ и $P$ отрезком и найдем на нем точку $P_1$ такую, что $AP_1 = \frac{3}{4} AP$.

в) Через точку $P_1$ проведем прямую $b_1$, параллельную прямой $b$. Эта прямая $b_1$ является образом прямой $b$ при гомотетии $H_1$.

г) Найдем точки пересечения прямой $b_1$ с данной окружностью. Пусть это точки $C_1$ и $C_2$ (их может быть две, одна или ни одной).

2. Построение для $k_2 = -3/4$:

а) Возьмем на прямой $b$ произвольную точку $Q$.

б) Построим ее образ $Q_2$ при гомотетии $H_2$. Для этого проведем прямую через $A$ и $Q$. На этой прямой отложим от точки $A$ в сторону, противоположную лучу $AQ$, отрезок $AQ_2$ длиной $\frac{3}{4} AQ$.

в) Через точку $Q_2$ проведем прямую $b_2$, параллельную прямой $b$. Эта прямая $b_2$ является образом прямой $b$ при гомотетии $H_2$.

г) Найдем точки пересечения прямой $b_2$ с данной окружностью. Пусть это точки $C_3$ и $C_4$ (их может быть две, одна или ни одной).

3. Искомые прямые: Каждая из найденных точек $C_1, C_2, C_3, C_4$ является искомой точкой $C$. Проведя прямые через точку $A$ и каждую из этих точек ($AC_1, AC_2, AC_3, AC_4$), мы получим все возможные решения задачи. В зависимости от взаимного расположения исходных фигур, задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Решение задачи заключается в выполнении вышеописанного алгоритма построения. Искомые прямые - это прямые, проходящие через точку A и точки пересечения данной окружности с двумя вспомогательными прямыми ($b_1$ и $b_2$), которые являются образами прямой $b$ при гомотетиях с центром A и коэффициентами $k_1 = 3/4$ и $k_2 = -3/4$.