Номер 20, страница 31 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-2; -6)$.

3. Даны точки $M(-3; -1)$ и $N(-1; 5)$. Точка $Y$ принадлежит оси ординат. Найдите наименьшее значение выражения $MY + NY$.

1. В каком случае прямая m является осью симметрии окружности с центром O?

Осью симметрии геометрической фигуры называется прямая, которая делит фигуру на две равные (симметричные) части. Для окружности любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии. Это связано с тем, что все точки окружности равноудалены от её центра. Таким образом, чтобы прямая $m$ была осью симметрии окружности с центром в точке $O$, она должна проходить через эту точку $O$.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии окружности с центром $O$ в том случае, если она проходит через центр окружности, то есть точка $O$ принадлежит прямой $m$.

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты (–2; –6).

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, центр ромба находится в начале координат $(0, 0)$, а его вершины лежат на осях. Обозначим вершины ромба как $A$, $B$, $C$ и $D$. Пусть их координаты будут $A(a, 0)$, $B(0, b)$, $C(-a, 0)$ и $D(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Дана середина одной из сторон с координатами $(-2; -6)$. Так как обе координаты отрицательны, эта точка находится в III координатной четверти. Сторона ромба, середина которой лежит в III четверти, соединяет вершины, лежащие на отрицательных полуосях, то есть вершины $C(-a, 0)$ и $D(0, -b)$.

Пусть точка $K(-2; -6)$ – середина стороны $CD$. Воспользуемся формулой координат середины отрезка: $x_K = \frac{x_C + x_D}{2}$ и $y_K = \frac{y_C + y_D}{2}$.

Подставим координаты точек $C$ и $D$:

$-2 = \frac{-a + 0}{2} \implies -2 = \frac{-a}{2} \implies a = 4$.

$-6 = \frac{0 + (-b)}{2} \implies -6 = \frac{-b}{2} \implies b = 12$.

Теперь, зная значения $a$ и $b$, мы можем найти координаты всех вершин ромба:

$A(a, 0) \implies A(4, 0)$

$B(0, b) \implies B(0, 12)$

$C(-a, 0) \implies C(-4, 0)$

$D(0, -b) \implies D(0, -12)$

Ответ: Координаты вершин ромба: $(4; 0)$, $(0; 12)$, $(-4; 0)$, $(0; -12)$.

3. Даны точки M(–3; –1) и N(–1; 5). Точка Y принадлежит оси ординат. Найдите наименьшее значение выражения MY + NY.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы расстояний $MY + NY$, где точка $Y$ лежит на оси ординат (оси $Oy$). Координаты точки $Y$ имеют вид $(0, y)$. Точки $M(-3; -1)$ и $N(-1; 5)$ находятся по одну сторону от оси ординат (в левой полуплоскости, так как их абсциссы отрицательны).

Для решения этой задачи используем метод осевой симметрии. Отразим одну из точек, например $M$, симметрично относительно оси $Oy$. Обозначим симметричную точку как $M'$. При симметрии относительно оси ординат координата $x$ меняет знак, а координата $y$ остается прежней. Таким образом, координаты точки $M'$ будут $(3; -1)$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $Y$ на оси симметрии (оси $Oy$) расстояние $MY$ равно расстоянию $M'Y$. Следовательно, выражение $MY + NY$ можно заменить на эквивалентное ему $M'Y + NY$.

Сумма расстояний $M'Y + NY$ будет наименьшей, когда точки $M'$, $Y$ и $N$ лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника). В этом случае наименьшее значение суммы будет равно длине отрезка $M'N$.

Найдем расстояние между точками $M'(3; -1)$ и $N(-1; 5)$ по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$:

$M'N = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-4)^2 + (6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$.

Упростим полученное значение: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$.

Таким образом, наименьшее значение выражения $MY + NY$ равно $2\sqrt{13}$.

Ответ: $2\sqrt{13}$.