Номер 13, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{AB}$; 2) $\vec{BA}$; 3) $\vec{OC}$; 4) $\vec{OA}$.

2. В прямоугольнике ABCD известно, что $CD = 6$ см, $AC = 10$ см, O — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{AB}|$; 2) $|\vec{BO}|$; 3) $|\vec{AD}|$.

3. Дан четырёхугольник ABCD. Известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$. Определите вид четырёхугольника ABCD.

1) $\vec{AB}$
Равные векторы — это сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AB$ и $DC$ параллельны и равны. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{DC}$ направлены в одну сторону (сонаправлены) и их длины равны. Следовательно, $\vec{AB} = \vec{DC}$.
Ответ: $\vec{DC}$.

2) $\vec{BA}$
Вектор $\vec{BA}$ направлен от точки $B$ к точке $A$. Вектор $\vec{CD}$ направлен от точки $C$ к точке $D$. Так как стороны $BA$ и $CD$ параллельны и равны по длине, а направления векторов $\vec{BA}$ и $\vec{CD}$ совпадают, то эти векторы равны. Следовательно, $\vec{BA} = \vec{CD}$.
Ответ: $\vec{CD}$.

3) $\vec{OC}$
В прямоугольнике диагонали в точке пересечения $O$ делятся пополам. Следовательно, точка $O$ — середина диагонали $AC$, а значит длины отрезков $AO$ и $OC$ равны. Векторы $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$ лежат на одной прямой, сонаправлены (оба направлены вдоль прямой от $A$ к $C$) и их длины равны. Таким образом, $\vec{OC} = \vec{AO}$.
Ответ: $\vec{AO}$.

4) $\vec{OA}$
Аналогично предыдущему пункту, так как $O$ — середина $AC$, отрезки $CO$ и $OA$ равны по длине. Векторы $\vec{CO}$ и $\vec{OA}$ лежат на одной прямой, сонаправлены (оба направлены вдоль прямой от $C$ к $A$) и их длины равны. Следовательно, $\vec{OA} = \vec{CO}$.
Ответ: $\vec{CO}$.

1) $|\vec{AB}|$
Модуль вектора $|\vec{AB}|$ равен длине отрезка $AB$. В прямоугольнике $ABCD$ противолежащие стороны равны, поэтому $AB = CD$. По условию $CD = 6$ см.
$|\vec{AB}| = AB = 6$ см.
Ответ: $6$ см.

2) $|\vec{BO}|$
Модуль вектора $|\vec{BO}|$ равен длине отрезка $BO$. В прямоугольнике диагонали равны ($AC = BD$) и в точке пересечения $O$ делятся пополам. Значит, $BO$ — это половина диагонали $BD$.
Поскольку $AC = 10$ см, то и $BD = 10$ см.
$|\vec{BO}| = BO = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.
Ответ: $5$ см.

3) $|\vec{AD}|$
Модуль вектора $|\vec{AD}|$ равен длине отрезка $AD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$, в котором $\angle D = 90^\circ$ (так как $ABCD$ — прямоугольник). По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + CD^2$.
Подставим известные значения: $10^2 = AD^2 + 6^2$.
$100 = AD^2 + 36$.
$AD^2 = 100 - 36 = 64$.
$AD = \sqrt{64} = 8$ см.
Следовательно, $|\vec{AD}| = 8$ см.
Ответ: $8$ см.

3.
Проанализируем условия задачи для четырёхугольника $ABCD$.
1. Условие, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны, означает, что прямые, на которых они лежат, параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
2. Четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, является трапецией. Стороны $BC$ и $AD$ — её основания, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны.
3. Условие $|\vec{AB}| = |\vec{CD}|$ означает, что длины боковых сторон трапеции равны ($AB = CD$).
4. Трапеция с равными боковыми сторонами называется равнобедренной (или равнобокой) трапецией.
Стоит отметить, что параллелограмм также удовлетворяет этим условиям (у него $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ не просто коллинеарны, а равны, а также $AB=CD$), но он является частным случаем равнобедренной трапеции. Поэтому наиболее общим и правильным определением для данного четырёхугольника будет равнобедренная трапеция.
Ответ: Равнобедренная трапеция.