Номер 11, страница 28 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку M (4; -2) и:

1) параллельна прямой $y = 3x + 1$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс угол 30°.

2. Найдите расстояние от точки A (3; -4) до прямой $8x - 15y = 8$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки A (6; 0) и B (0; -4) и центр которой принадлежит прямой $3x + y = 4$.

1) Уравнение прямой в общем виде с угловым коэффициентом: $y = kx + b$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент данной прямой $y = 3x + 1$ равен $k=3$. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен 3. Уравнение искомой прямой принимает вид $y = 3x + b$. Так как прямая проходит через точку $M(4; -2)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим значения $x=4$ и $y=-2$ в уравнение, чтобы найти $b$:
$-2 = 3 \cdot 4 + b$
$-2 = 12 + b$
$b = -2 - 12 = -14$
Таким образом, искомое уравнение прямой: $y = 3x - 14$.
Ответ: $y = 3x - 14$

2) Угловой коэффициент прямой $k$ связан с углом $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, формулой $k = \tan(\alpha)$. По условию, $\alpha = 30^{\circ}$. Найдем угловой коэффициент:
$k = \tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$, можно записать в виде $y - y_0 = k(x - x_0)$. Подставим координаты точки $M(4; -2)$ и найденный угловой коэффициент $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$:
$y - (-2) = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 4)$
$y + 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3}$
$y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{4\sqrt{3}}{3} - 2$
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{3}x - 2 - \frac{4\sqrt{3}}{3}$

2. Расстояние $d$ от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной общим уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Сначала приведем уравнение прямой $8x - 15y = 8$ к общему виду, перенеся все члены в одну сторону:
$8x - 15y - 8 = 0$
Отсюда коэффициенты: $A = 8$, $B = -15$, $C = -8$.
Координаты точки $A(3; -4)$, следовательно, $x_0 = 3$ и $y_0 = -4$.
Подставим эти значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|8 \cdot 3 + (-15) \cdot (-4) - 8|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}} = \frac{|24 + 60 - 8|}{\sqrt{64 + 225}} = \frac{|76|}{\sqrt{289}} = \frac{76}{17}$.
Ответ: $\frac{76}{17}$

3. Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — координаты центра окружности $O$, а $R$ — её радиус.
1. Из условия известно, что центр окружности $O(a; b)$ лежит на прямой $3x + y = 4$. Это означает, что его координаты удовлетворяют уравнению этой прямой: $3a + b = 4$. Выразим $b$ через $a$: $b = 4 - 3a$.
2. Окружность проходит через точки $A(6; 0)$ и $B(0; -4)$. Расстояние от центра до любой точки на окружности равно радиусу. Таким образом, расстояния $OA$ и $OB$ равны. Удобнее сравнивать квадраты расстояний: $OA^2 = OB^2$.
$OA^2 = (a - 6)^2 + (b - 0)^2 = (a-6)^2 + b^2$
$OB^2 = (a - 0)^2 + (b - (-4))^2 = a^2 + (b+4)^2$
Приравняем эти выражения:
$(a-6)^2 + b^2 = a^2 + (b+4)^2$
Раскроем скобки:
$a^2 - 12a + 36 + b^2 = a^2 + b^2 + 8b + 16$
Сократим $a^2$ и $b^2$ в обеих частях уравнения:
$-12a + 36 = 8b + 16$
Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую:
$36 - 16 = 12a + 8b$
$20 = 12a + 8b$
Разделим обе части на 4 для упрощения:
$5 = 3a + 2b$
3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения координат центра $(a; b)$:
$\begin{cases} b = 4 - 3a \\ 3a + 2b = 5 \end{cases}$
Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:
$3a + 2(4 - 3a) = 5$
$3a + 8 - 6a = 5$
$-3a = 5 - 8$
$-3a = -3$
$a = 1$
Теперь найдем $b$:
$b = 4 - 3(1) = 1$
Итак, центр окружности находится в точке $O(1; 1)$.
4. Чтобы найти радиус, вычислим квадрат расстояния от центра $O(1; 1)$ до любой из точек на окружности, например, до точки $A(6; 0)$:
$R^2 = OA^2 = (6 - 1)^2 + (0 - 1)^2 = 5^2 + (-1)^2 = 25 + 1 = 26$.
5. Запишем итоговое уравнение окружности, подставив координаты центра $(a=1, b=1)$ и $R^2=26$ в стандартную форму:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 26$.
Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 26$