Номер 10, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) C (6; -3) и D (-6; -3);

2) M (-4; 1) и K (-4; -8);

3) A (-2; 1) и B (3; -4).

2. Докажите, что окружность $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и прямая $x - y = 3$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 5 и которые отсекают на оси ординат хорду длиной 8.

1) Даны точки $C(6; -3)$ и $D(-6; -3)$.
Так как ординаты (координаты $y$) обеих точек одинаковы и равны -3, прямая, проходящая через эти точки, является горизонтальной и параллельна оси абсцисс. Ее уравнение имеет вид $y = const$. В данном случае, $y = -3$.
Общее уравнение прямой: $y + 3 = 0$.
Ответ: $y + 3 = 0$.

2) Даны точки $M(-4; 1)$ и $K(-4; -8)$.
Так как абсциссы (координаты $x$) обеих точек одинаковы и равны -4, прямая, проходящая через эти точки, является вертикальной и параллельна оси ординат. Ее уравнение имеет вид $x = const$. В данном случае, $x = -4$.
Общее уравнение прямой: $x + 4 = 0$.
Ответ: $x + 4 = 0$.

3) Даны точки $A(-2; 1)$ и $B(3; -4)$.
Воспользуемся каноническим уравнением прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$:
$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$
Подставим координаты точек A и B:
$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 1}{-4 - 1}$
$\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 1}{-5}$
Умножим обе части уравнения на 5:
$x + 2 = -(y - 1)$
$x + 2 = -y + 1$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить общее уравнение прямой:
$x + y + 2 - 1 = 0$
$x + y + 1 = 0$
Ответ: $x + y + 1 = 0$.

2. Даны уравнение окружности $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$ и уравнение прямой $x - y = 3$.
Чтобы доказать, что они пересекаются, и найти точки пересечения, необходимо решить систему этих двух уравнений.
Из уравнения прямой выразим $x$: $x = y + 3$.
Подставим это выражение в уравнение окружности:
$((y + 3) - 3)^2 + (y - 2)^2 = 20$
$y^2 + (y - 2)^2 = 20$
$y^2 + y^2 - 4y + 4 = 20$
$2y^2 - 4y - 16 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$y^2 - 2y - 8 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$.
Так как $D = 36 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Это доказывает, что прямая и окружность пересекаются в двух точках.
Найдем эти корни, которые являются $y$-координатами точек пересечения:
$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2}$
$y_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4$
$y_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2$
Теперь найдем соответствующие $x$-координаты, используя уравнение $x = y + 3$:
Для $y_1 = 4$: $x_1 = 4 + 3 = 7$. Первая точка пересечения: $(7, 4)$.
Для $y_2 = -2$: $x_2 = -2 + 3 = 1$. Вторая точка пересечения: $(1, -2)$.
Ответ: Окружность и прямая пересекаются, так как система их уравнений имеет два решения. Координаты точек пересечения: $(7, 4)$ и $(1, -2)$.

3. Пусть центр окружности имеет координаты $(x_0, y_0)$. По условию, радиус окружности $R = 5$. Уравнение такой окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = 5^2 = 25$.
Окружность отсекает хорду на оси ординат (оси OY), уравнение которой $x=0$. Длина этой хорды равна 8.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется радиусом окружности, проведенным к одному из концов хорды, перпендикуляром, опущенным из центра окружности на ось OY, и половиной хорды.
В этом треугольнике:
- Гипотенуза — это радиус окружности $R = 5$.
- Один катет — это половина длины хорды, то есть $\frac{8}{2} = 4$.
- Второй катет — это расстояние от центра окружности $(x_0, y_0)$ до оси OY. Это расстояние равно модулю абсциссы центра, то есть $|x_0|$.
По теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:
$|x_0|^2 + 4^2 = 5^2$
$x_0^2 + 16 = 25$
$x_0^2 = 25 - 16$
$x_0^2 = 9$
Из этого уравнения находим $x_0 = 3$ или $x_0 = -3$.
Координата $y_0$ центра окружности может быть любой, так как ее значение не влияет на длину хорды, отсекаемой на вертикальной оси OY. Таким образом, геометрическое место центров $(x_0, y_0)$ — это множество всех точек, у которых абсцисса равна 3 или -3, то есть две вертикальные прямые $x = 3$ и $x = -3$.
Эти два уравнения можно объединить в одно: $x^2 - 9 = 0$.
Ответ: $x^2 - 9 = 0$.