Номер 15, страница 29 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 15

Сложение и вычитание векторов

1. Четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Найдите:

1) $ \vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD} $;

2) $ \vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB} $;

3) $ \vec{DA} - \vec{BA} - \vec{DC} + \vec{BC} $.

2. Даны точки A (-2; 3) и B (6; 5). Найдите координаты точки C такой, что $ \vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0} $.

3. Найдите геометрическое место точек X таких, что $ |\vec{AX} - \vec{XB}| = 4 $, если $ |\vec{AB}| = 6 $.

1) Для упрощения выражения $\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{AD}$ воспользуемся свойствами параллелограмма $ABCD$. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны, поэтому соответствующие им векторы равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Подставим это равенство в исходное выражение:
$\vec{BA} - \vec{BC} + \vec{BC} = \vec{BA} + (-\vec{BC} + \vec{BC}) = \vec{BA} + \vec{0} = \vec{BA}$.
Другой способ решения: по правилу вычитания векторов $\vec{BA} - \vec{BC} = \vec{CA}$. Тогда выражение принимает вид $\vec{CA} + \vec{AD}$. По правилу сложения векторов (правило треугольника) получаем: $\vec{CA} + \vec{AD} = \vec{CD}$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $\vec{CD} = \vec{BA}$.
Ответ: $\vec{BA}$.

2) Для упрощения выражения $\vec{BC} + \vec{BA} + \vec{DB}$ перегруппируем слагаемые: $(\vec{DB} + \vec{BC}) + \vec{BA}$.
По правилу треугольника для сложения векторов, сумма $\vec{DB} + \vec{BC}$ равна вектору $\vec{DC}$.
Таким образом, выражение сводится к $\vec{DC} + \vec{BA}$.
В параллелограмме $ABCD$ векторы $\vec{DC}$ и $\vec{AB}$ равны: $\vec{DC} = \vec{AB}$.
Подставив это, получим: $\vec{AB} + \vec{BA}$.
Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными, их сумма равна нулевому вектору: $\vec{AB} + \vec{BA} = \vec{AA} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

3) Рассмотрим выражение $\vec{DA} - \vec{BA} - \vec{DC} + \vec{BC}$.
Используем свойства векторов и параллелограмма. Замена векторов на противоположные: $-\vec{BA} = \vec{AB}$ и $-\vec{DC} = \vec{CD}$.
Выражение можно переписать так: $\vec{DA} + \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BC}$.
Сгруппируем слагаемые: $(\vec{DA} + \vec{AB}) + (\vec{BC} + \vec{CD})$.
По правилу треугольника: $\vec{DA} + \vec{AB} = \vec{DB}$ и $\vec{BC} + \vec{CD} = \vec{BD}$.
Выражение принимает вид $\vec{DB} + \vec{BD}$.
Сумма противоположных векторов $\vec{DB}$ и $\vec{BD}$ равна нулевому вектору: $\vec{DB} + \vec{BD} = \vec{DD} = \vec{0}$.
Ответ: $\vec{0}$.

2. Даны точки $A(-2; 3)$ и $B(6; 5)$. Пусть искомая точка $C$ имеет координаты $(x; y)$.
Координаты вектора определяются как разность координат его конца и начала.
Координаты вектора $\vec{BC}$: $(x - 6; y - 5)$.
Координаты вектора $\vec{AC}$: $(x - (-2); y - 3) = (x + 2; y - 3)$.
По условию $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$. Сложим векторы, сложив их соответствующие координаты:
$\vec{BC} + \vec{AC} = ((x - 6) + (x + 2); (y - 5) + (y - 3)) = (2x - 4; 2y - 8)$.
Нулевой вектор $\vec{0}$ имеет координаты $(0; 0)$. Приравниваем соответствующие координаты:
$2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$.
$2y - 8 = 0 \implies 2y = 8 \implies y = 4$.
Следовательно, точка $C$ имеет координаты $(2; 4)$.
Заметим, что условие $\vec{BC} + \vec{AC} = \vec{0}$ равносильно тому, что $\vec{CA} = \vec{BC}$, а это означает, что $C$ является серединой отрезка $AB$.
Ответ: $C(2; 4)$.

3. Нам нужно найти геометрическое место точек $X$, удовлетворяющих условию $|\vec{AX} - \vec{XB}| = 4$.
Преобразуем векторное выражение $\vec{AX} - \vec{XB}$. Используя правило вычитания и то, что $-\vec{XB} = \vec{BX}$, можно запутаться. Вместо этого представим векторы через радиус-векторы точек из произвольного начала координат $O$: $\vec{AX} = \vec{OX} - \vec{OA}$ и $\vec{XB} = \vec{OB} - \vec{OX}$.
Тогда $\vec{AX} - \vec{XB} = (\vec{OX} - \vec{OA}) - (\vec{OB} - \vec{OX}) = \vec{OX} - \vec{OA} - \vec{OB} + \vec{OX} = 2\vec{OX} - (\vec{OA} + \vec{OB})$.
Пусть $M$ - середина отрезка $AB$. Её радиус-вектор $\vec{OM}$ равен полусумме радиус-векторов точек $A$ и $B$: $\vec{OM} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2}$. Отсюда $\vec{OA} + \vec{OB} = 2\vec{OM}$.
Подставим это в наше выражение: $2\vec{OX} - 2\vec{OM} = 2(\vec{OX} - \vec{OM}) = 2\vec{MX}$.
Теперь исходное уравнение можно переписать как $|2\vec{MX}| = 4$.
$2|\vec{MX}| = 4$.
$|\vec{MX}| = 2$.
Это уравнение означает, что расстояние от точки $X$ до точки $M$ (середины отрезка $AB$) постоянно и равно 2.
Геометрическое место точек, находящихся на постоянном расстоянии от заданной точки, является окружностью (если задача на плоскости).
Таким образом, искомое ГМТ — это окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом, равным 2. Условие $|\vec{AB}|=6$ определяет расстояние между точками $A$ и $B$ и, следовательно, положение центра окружности, но не влияет на её радиус.
Ответ: Окружность с центром в середине отрезка $AB$ и радиусом 2.