Номер 9, страница 27 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 9

Уравнение фигуры

1. Докажите, что уравнение $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0$ является уравнением окружности, и укажите координаты её центра и радиус.

2. Составьте уравнение окружности, проходящей через точку $A(1; -5)$, если центр окружности принадлежит оси абсцисс, а радиус равен 13.

3. Дана окружность $(x + 10)^2 + (y - 3)^2 = 144$. Найдите уравнение окружности с центром $O_1(-2; -3)$, которая касается данной окружности.

1. Каноническое уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением окружности, приведем его к каноническому виду, используя метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 + y^2 + 6x - 14y - 5 = 0$.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 + 6x) + (y^2 - 14y) - 5 = 0$.

Дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого используем формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для группы с $x$: $x^2 + 6x = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $3^2 = 9$.

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Для группы с $y$: $y^2 - 14y = y^2 - 2 \cdot y \cdot 7$. Чтобы получить полный квадрат, нужно добавить $7^2 = 49$.

$y^2 - 14y + 49 = (y-7)^2$.

Теперь подставим это в исходное уравнение. Чтобы уравнение осталось верным, те же числа, что мы добавили в левую часть, нужно добавить и в правую:

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 14y + 49) - 5 = 9 + 49$.

$(x+3)^2 + (y-7)^2 - 5 = 58$.

$(x+3)^2 + (y-7)^2 = 63$.

Мы привели уравнение к каноническому виду. Так как правая часть уравнения $63 > 0$, это действительно уравнение окружности.

Сравнивая с общей формой $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, находим:

Координаты центра $(x_0, y_0) = (-3, 7)$.

Квадрат радиуса $R^2 = 63$, откуда радиус $R = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}$.

Ответ: Уравнение является уравнением окружности с центром в точке $(-3; 7)$ и радиусом $3\sqrt{7}$.

2. Пусть центр окружности — точка $O(x_0, y_0)$. По условию, центр принадлежит оси абсцисс, следовательно, его ордината равна нулю: $y_0 = 0$. Таким образом, центр окружности — $O(x_0, 0)$.

Радиус окружности по условию равен $R = 13$.

Уравнение окружности в общем виде: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Подставив известные значения, получим: $(x - x_0)^2 + (y - 0)^2 = 13^2$, что равносильно $(x - x_0)^2 + y^2 = 169$.

Окружность проходит через точку $A(1; -5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставим $x=1$ и $y=-5$ в уравнение:

$(1 - x_0)^2 + (-5)^2 = 169$.

$(1 - x_0)^2 + 25 = 169$.

$(1 - x_0)^2 = 169 - 25$.

$(1 - x_0)^2 = 144$.

Из этого уравнения находим возможные значения для $x_0$:

$1 - x_0 = 12$ или $1 - x_0 = -12$.

В первом случае: $x_0 = 1 - 12 = -11$.

Во втором случае: $x_0 = 1 - (-12) = 1 + 12 = 13$.

Таким образом, существуют две окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

1) Если центр $O(-11, 0)$, уравнение окружности: $(x - (-11))^2 + y^2 = 169$, то есть $(x + 11)^2 + y^2 = 169$.

2) Если центр $O(13, 0)$, уравнение окружности: $(x - 13)^2 + y^2 = 169$.

Ответ: $(x + 11)^2 + y^2 = 169$ или $(x - 13)^2 + y^2 = 169$.

3. Сначала найдем параметры данной окружности из её уравнения $(x+10)^2 + (y-3)^2 = 144$.

Это уравнение вида $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.

Центр первой окружности $O$ имеет координаты $(-10; 3)$.

Радиус первой окружности $R = \sqrt{144} = 12$.

Вторая окружность, уравнение которой нужно найти, имеет центр в точке $O_1(-2; -3)$. Обозначим её радиус как $R_1$. Её уравнение будет иметь вид $(x+2)^2 + (y+3)^2 = R_1^2$.

По условию, окружности касаются. Это означает, что расстояние между их центрами связано с их радиусами. Найдем расстояние $d$ между центрами $O$ и $O_1$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_{O_1} - x_O)^2 + (y_{O_1} - y_O)^2}$

$d = \sqrt{(-2 - (-10))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(-2+10)^2 + (-6)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10$.

Существует два случая касания окружностей: внешнее и внутреннее.

1. Внешнее касание: расстояние между центрами равно сумме радиусов, $d = R + R_1$.

$10 = 12 + R_1 \Rightarrow R_1 = 10 - 12 = -2$. Радиус не может быть отрицательным, поэтому этот случай невозможен (так как расстояние между центрами $d=10$ меньше радиуса первой окружности $R=12$, центр второй окружности находится внутри первой).

2. Внутреннее касание: расстояние между центрами равно модулю разности радиусов, $d = |R - R_1|$.

$10 = |12 - R_1|$.

Это уравнение имеет два решения:

а) $12 - R_1 = 10 \Rightarrow R_1 = 12 - 10 = 2$.

б) $12 - R_1 = -10 \Rightarrow R_1 = 12 + 10 = 22$.

Оба значения радиуса положительны, следовательно, существуют две окружности, удовлетворяющие условию задачи.

Уравнение для первой из них ($R_1 = 2$): $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 2^2 = 4$.

Уравнение для второй из них ($R_1 = 22$): $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 22^2 = 484$.

Ответ: $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 4$ или $(x+2)^2 + (y+3)^2 = 484$.