Номер 2, страница 24 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 2

Теорема косинусов

1. Две стороны треугольника относятся как 7 : 8, а угол между ними составляет 120°. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 84 см.

2. В четырёхугольнике $ABCD$ известно, что $AB=CD=13$ см, $BC=11$ см, $AD=21$ см. Найдите диагональ $BD$, если около четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а медиана, проведённая к боковой стороне, — 8 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Пусть две стороны треугольника равны $a$ и $b$, а третья сторона равна $c$. По условию, $a:b = 7:8$, поэтому можно обозначить их длины как $a = 7x$ и $b = 8x$, где $x$ — коэффициент пропорциональности. Угол между этими сторонами равен $\gamma = 120^\circ$.

Найдем третью сторону $c$ с помощью теоремы косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$.

Подставим известные значения: $c^2 = (7x)^2 + (8x)^2 - 2(7x)(8x)\cos(120^\circ)$.

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, получим: $c^2 = 49x^2 + 64x^2 - 112x^2(-1/2) = 113x^2 + 56x^2 = 169x^2$. Отсюда $c = \sqrt{169x^2} = 13x$ (длина стороны не может быть отрицательной).

Периметр треугольника равен $P = a + b + c = 84$ см. Подставим выражения для сторон через $x$: $7x + 8x + 13x = 84$. $28x = 84$. $x = 84 / 28 = 3$.

Теперь найдем длины сторон треугольника: $a = 7x = 7 \cdot 3 = 21$ см. $b = 8x = 8 \cdot 3 = 24$ см. $c = 13x = 13 \cdot 3 = 39$ см.

Ответ: стороны треугольника равны 21 см, 24 см и 39 см.

Поскольку вокруг четырёхугольника $ABCD$ можно описать окружность, он является вписанным. Для вписанного четырёхугольника сумма противолежащих углов равна $180^\circ$. Пусть $\angle DAB = \alpha$, тогда $\angle BCD = 180^\circ - \alpha$. Из этого следует, что $\cos(\angle BCD) = \cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме косинусов для стороны $BD$: $BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$. Подставим известные значения: $AB = 13$ см, $AD = 21$ см. $BD^2 = 13^2 + 21^2 - 2 \cdot 13 \cdot 21 \cdot \cos\alpha = 169 + 441 - 546 \cos\alpha = 610 - 546 \cos\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCD$. По теореме косинусов для стороны $BD$: $BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$. Подставим известные значения: $BC = 11$ см, $CD = 13$ см. $BD^2 = 11^2 + 13^2 - 2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot (-\cos\alpha) = 121 + 169 + 286 \cos\alpha = 290 + 286 \cos\alpha$.

Приравняем два полученных выражения для $BD^2$: $610 - 546 \cos\alpha = 290 + 286 \cos\alpha$. $610 - 290 = 546 \cos\alpha + 286 \cos\alpha$. $320 = 832 \cos\alpha$. $\cos\alpha = \frac{320}{832} = \frac{5}{13}$.

Подставим найденное значение $\cos\alpha$ в любое из выражений для $BD^2$. Например, во второе: $BD^2 = 290 + 286 \cdot \frac{5}{13} = 290 + 22 \cdot 5 = 290 + 110 = 400$. $BD = \sqrt{400} = 20$ см.

Ответ: диагональ $BD$ равна 20 см.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором $AC = 10$ см — основание, а $AB = BC = x$ — боковые стороны. Проведена медиана $AM$ к боковой стороне $BC$, и её длина $AM = 8$ см. Так как $AM$ — медиана, то точка $M$ является серединой стороны $BC$, следовательно, $MC = BM = \frac{x}{2}$.

Пусть $\angle C = \gamma$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ углы при основании равны, поэтому $\angle A = \angle C = \gamma$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ для нахождения связи между $x$ и $\cos\gamma$. Рассматриваем сторону $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos\gamma$. $x^2 = 10^2 + x^2 - 2 \cdot 10 \cdot x \cdot \cos\gamma$. $0 = 100 - 20x \cos\gamma$. $20x \cos\gamma = 100$. $x \cos\gamma = 5$.

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $AMC$. Стороны этого треугольника: $AM = 8$ см, $AC = 10$ см, $MC = \frac{x}{2}$. $AM^2 = AC^2 + MC^2 - 2 \cdot AC \cdot MC \cdot \cos\gamma$. $8^2 = 10^2 + (\frac{x}{2})^2 - 2 \cdot 10 \cdot \frac{x}{2} \cdot \cos\gamma$. $64 = 100 + \frac{x^2}{4} - 10(x \cos\gamma)$.

Подставим в это уравнение найденное ранее выражение $x \cos\gamma = 5$: $64 = 100 + \frac{x^2}{4} - 10 \cdot 5$. $64 = 100 + \frac{x^2}{4} - 50$. $64 = 50 + \frac{x^2}{4}$. $14 = \frac{x^2}{4}$. $x^2 = 14 \cdot 4 = 56$. $x = \sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}$ см.

Ответ: боковая сторона треугольника равна $2\sqrt{14}$ см.