Номер 20, страница 21 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 20

Осевая симметрия

1. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$?

2. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-3; 5)$.

3. Даны точки $C (2; 4)$ и $D (-1; 1)$. Точка $X$ принадлежит оси абсцисс. Найдите наименьшее значение выражения $CX + DX$.

1. Прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$ в двух случаях:

• Прямая $m$ совпадает с прямой $AB$.
• Прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$.

В первом случае при симметричном отображении каждая точка прямой $AB$ переходит в саму себя. Во втором случае любая точка прямой $AB$ отображается в другую точку, также принадлежащую прямой $AB$, так что вся прямая $AB$ отображается на себя.

Ответ: Прямая $m$ совпадает с прямой $AB$ или перпендикулярна ей.

2. Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, его вершины также лежат на осях и симметричны относительно начала координат. Пусть координаты вершин ромба: $(a, 0)$, $(-a, 0)$, $(0, b)$ и $(0, -b)$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Найдем координаты середин сторон этого ромба. Возьмем, к примеру, сторону, соединяющую вершины $(a, 0)$ и $(0, b)$. Координаты ее середины вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$

$y_M = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$

В зависимости от того, в какой координатной четверти находится сторона, координаты ее середины будут $(\pm\frac{a}{2}, \pm\frac{b}{2})$.

По условию, середина одной из сторон имеет координаты $(-3; 5)$. Эта точка лежит во второй координатной четверти, где $x < 0$ и $y > 0$. Следовательно, для этой середины выполняются равенства:

$-\frac{a}{2} = -3$

$\frac{b}{2} = 5$

Решая эти уравнения, находим $a$ и $b$:

$a = 6$

$b = 10$

Таким образом, вершины ромба имеют следующие координаты: $(6, 0)$, $(-6, 0)$, $(0, 10)$ и $(0, -10)$.

Ответ: Координаты вершин ромба: $(6; 0)$, $(-6; 0)$, $(0; 10)$, $(0; -10)$.

3. Требуется найти наименьшее значение суммы расстояний $CX + DX$, где $C(2; 4)$, $D(-1; 1)$, а точка $X$ принадлежит оси абсцисс (оси $Ox$).

Точки $C$ и $D$ находятся по одну сторону от оси абсцисс, так как их ординаты (4 и 1) одного знака (положительные). Для нахождения наименьшего значения суммы расстояний применим метод осевой симметрии.

Отразим симметрично одну из точек, например $D$, относительно оси абсцисс. Получим точку $D'$. Если координаты точки $D$ были $(-1; 1)$, то координаты ее образа $D'$ будут $(-1; -1)$.

Для любой точки $X$ на оси абсцисс расстояние до точки $D$ равно расстоянию до точки $D'$ ($DX = D'X$), поскольку ось $Ox$ является серединным перпендикуляром к отрезку $DD'$.

Таким образом, сумма расстояний $CX + DX$ равна сумме $CX + D'X$.

Наименьшее значение суммы $CX + D'X$ достигается тогда, когда точки $C$, $X$ и $D'$ лежат на одной прямой (согласно неравенству треугольника, $CX + D'X \ge CD'$). Это наименьшее значение равно длине отрезка $CD'$.

Найдем расстояние между точками $C(2; 4)$ и $D'(-1; -1)$ по формуле $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$:

$CD' = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (-1 - 4)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.

Ответ: Наименьшее значение выражения равно $\sqrt{34}$.