Номер 13, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 13

Понятие вектора

1. Диагонали параллелограмма $MKPE$ пересекаются в точке $O$. Укажите вектор, равный вектору:

1) $\vec{KP}$; 2) $\vec{PK}$; 3) $\vec{MO}$; 4) $\vec{PO}$.

2. В ромбе $ABCD$ известно, что $AB = 10$ см, $AC = 12$ см, $O$ — точка пересечения диагоналей. Найдите:

1) $|\vec{BD}|$; 2) $|\vec{AO}|$; 3) $|\vec{DO}|$.

3. Дан четырёхугольник $ABCD$. Известно, что векторы $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и $|\vec{AC}| = |\vec{BD}|$. Определите вид четырёхугольника $ABCD$.

1. В параллелограмме $MKPE$ противоположные стороны попарно параллельны и равны ($MK || PE$, $KP || ME$ и $MK=PE$, $KP=ME$). Диагонали $MP$ и $KE$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам ($MO=OP$, $KO=OE$).

1) $\overrightarrow{KP}$
Векторы равны, если они сонаправлены (имеют одинаковое направление) и их длины равны. В параллелограмме $MKPE$ сторона $KP$ параллельна стороне $ME$. Вектор $\overrightarrow{KP}$ (направленный от $K$ к $P$) сонаправлен вектору $\overrightarrow{ME}$ (направленному от $M$ к $E$). Длины этих сторон равны. Следовательно, $\overrightarrow{KP} = \overrightarrow{ME}$.
Ответ: $\overrightarrow{ME}$.

2) $\overrightarrow{PK}$
Вектор $\overrightarrow{PK}$ противоположен вектору $\overrightarrow{KP}$. Он сонаправлен вектору $\overrightarrow{EM}$, так как $PK || EM$ и направление от $P$ к $K$ такое же, как от $E$ к $M$. Их длины равны. Следовательно, $\overrightarrow{PK} = \overrightarrow{EM}$.
Ответ: $\overrightarrow{EM}$.

3) $\overrightarrow{MO}$
Точка $O$ — середина диагонали $MP$. Вектор $\overrightarrow{MO}$ направлен от точки $M$ к середине диагонали $O$. Вектор $\overrightarrow{OP}$ направлен от середины диагонали $O$ к точке $P$. Они сонаправлены и их длины равны ($|\overrightarrow{MO}| = |\overrightarrow{OP}|$). Следовательно, $\overrightarrow{MO} = \overrightarrow{OP}$.
Ответ: $\overrightarrow{OP}$.

4) $\overrightarrow{PO}$
Вектор $\overrightarrow{PO}$ направлен от точки $P$ к середине диагонали $O$. Он сонаправлен вектору $\overrightarrow{OM}$ (направленному от $O$ к $M$). Их длины равны, так как $O$ — середина $MP$. Следовательно, $\overrightarrow{PO} = \overrightarrow{OM}$.
Ответ: $\overrightarrow{OM}$.

2. В ромбе $ABCD$ все стороны равны ($AB=10$ см), а диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом и делятся этой точкой пополам.

1) $|\overrightarrow{BD}|$
Рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Он является прямоугольным, так как диагонали ромба перпендикулярны ($\angle AOB = 90^\circ$). Гипотенуза $AB=10$ см. Катет $AO$ равен половине диагонали $AC$, так как диагонали делятся точкой пересечения пополам. $AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
По теореме Пифагора найдем второй катет $BO$:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$10^2 = 6^2 + BO^2$
$100 = 36 + BO^2$
$BO^2 = 64$
$BO = \sqrt{64} = 8$ см.
Так как $O$ — середина диагонали $BD$, то $BD = 2 \cdot BO = 2 \cdot 8 = 16$ см. Модуль вектора $|\overrightarrow{BD}|$ равен длине отрезка $BD$.
Ответ: 16 см.

2) $|\overrightarrow{AO}|$
Длина отрезка $AO$ была найдена в предыдущем пункте. $AO$ — это половина диагонали $AC$.
$|\overrightarrow{AO}| = AO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$ см.
Ответ: 6 см.

3) $|\overrightarrow{DO}|$
Длина отрезка $DO$ равна длине отрезка $BO$, так как диагональ $BD$ делится точкой $O$ пополам. Длина $BO$ была найдена в пункте 1) и равна 8 см.
$|\overrightarrow{DO}| = DO = BO = 8$ см.
Ответ: 8 см.

3. Проанализируем свойства четырёхугольника $ABCD$ на основе данных условий.

1. Условие, что векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{AD}$ коллинеарны, означает, что прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC || AD$). Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, является трапецией. Основаниями этой трапеции являются $BC$ и $AD$.

2. Условие $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{BD}|$ означает, что длины диагоналей $AC$ и $BD$ равны.

Свойством равнобедренной (равнобокой) трапеции является равенство её диагоналей. Таким образом, четырёхугольник $ABCD$ — это равнобедренная трапеция.

Если бы основания трапеции были равны ($BC=AD$), то она была бы параллелограммом. Параллелограмм с равными диагоналями — это прямоугольник. Прямоугольник является частным случаем равнобедренной трапеции. Таким образом, наиболее общее определение для данного четырёхугольника — равнобедренная трапеция.
Ответ: Равнобедренная трапеция.