Номер 10, страница 17 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 10

Общее уравнение прямой

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

1) C (-1; 5) и D (8; 5);

2) M (9; 2) и K (9; -9);

3) A (-2; -6) и B (4; 7).

2. Докажите, что окружность $(x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 10 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 12.

1. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

2. Докажите, что окружность $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 13$ и прямая $x - y = -4$ пересекаются, и найдите координаты точек их пересечения.

Уравнение окружности $(x+4)^2 + (y-1)^2 = 13$ имеет центр в точке $O(-4; 1)$ и радиус $R = \sqrt{13}$.

Уравнение прямой $x - y = -4$ можно записать в общем виде как $x - y + 4 = 0$.

Для доказательства пересечения найдем расстояние $d$ от центра окружности $O(-4; 1)$ до прямой $x - y + 4 = 0$ по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$:

$d = \frac{|1 \cdot (-4) - 1 \cdot 1 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1 + 4|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Теперь сравним расстояние $d$ с радиусом $R$. $d = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$, а $R = \sqrt{13} \approx 3.606$. Так как $d < R$, прямая пересекает окружность в двух точках.

Чтобы найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$\begin{cases} (x+4)^2 + (y-1)^2 = 13 \\ x - y = -4 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y - 4$.

Подставим это выражение в уравнение окружности:

$((y-4)+4)^2 + (y-1)^2 = 13$

$y^2 + (y-1)^2 = 13$

$y^2 + y^2 - 2y + 1 = 13$

$2y^2 - 2y - 12 = 0$

Разделим уравнение на 2: $y^2 - y - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение, например, по теореме Виета. Корни уравнения: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

При $y_1 = 3$, $x_1 = 3 - 4 = -1$. Первая точка пересечения: (–1; 3).

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2 - 4 = -6$. Вторая точка пересечения: (–6; –2).

Ответ: Координаты точек пересечения (–1; 3) и (–6; –2).

3. Составьте уравнение геометрического места центров окружностей, радиус которых равен 10 и которые отсекают на оси абсцисс хорду длиной 12.

Пусть центр искомой окружности имеет координаты $(x_c, y_c)$. Радиус окружности по условию $R = 10$.

Окружность отсекает на оси абсцисс ($y=0$) хорду длиной $L = 12$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр окружности $(x_c, y_c)$, проекция центра на ось абсцисс $(x_c, 0)$ и один из концов хорды на оси абсцисс.

Катетами этого треугольника будут:

1. Расстояние от центра окружности до оси абсцисс, равное $|y_c|$.
2. Половина длины хорды, равная $L/2 = 12/2 = 6$.

Гипотенузой является радиус окружности $R = 10$.

По теореме Пифагора:

$(|y_c|)^2 + 6^2 = 10^2$

$y_c^2 + 36 = 100$

$y_c^2 = 100 - 36$

$y_c^2 = 64$

Отсюда получаем два возможных значения для ординаты центра: $y_c = 8$ и $y_c = -8$.

Абсцисса центра $x_c$ может быть любым действительным числом, так как в условии нет ограничений на ее значение. Следовательно, геометрическое место центров таких окружностей представляет собой две прямые, параллельные оси абсцисс.

Заменив координаты центра $(x_c, y_c)$ на переменные $(x, y)$, получаем уравнения этих прямых.

Ответ: $y = 8$ и $y = -8$.