Номер 5, страница 15 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 5

Формулы для нахождения площади треугольника

1. На сторонах угла O отложены отрезки $OA = 8$ см, $AB = 3$ см, $OC = 5$ см, $CD = 7$ см (рис. 6). Найдите отношение площадей треугольника $OBD$ и четырёхугольника $ABDC$.

2. Медианы $BP$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $D$. Найдите площадь треугольника $ABC$, если $BP = 6$ см, $CM = 15$ см, $\angle BDC = 45^\circ$.

3. Основания трапеции равны 6 см и 11 см, а диагонали — 10 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

1. Для решения задачи используем формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$. Пусть угол при вершине O равен $\alpha$.

Сначала найдем длины сторон OB и OD треугольника OBD:

$OB = OA + AB = 8 + 3 = 11$ см.

$OD = OC + CD = 5 + 7 = 12$ см.

Теперь можем выразить площади треугольников OBD и OAC через $\sin \alpha$:

$S_{OBD} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OD \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin \alpha = 66 \sin \alpha$.

$S_{OAC} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin \alpha = 20 \sin \alpha$.

Площадь четырёхугольника ABDC равна разности площадей треугольников OBD и OAC:

$S_{ABDC} = S_{OBD} - S_{OAC} = 66 \sin \alpha - 20 \sin \alpha = 46 \sin \alpha$.

Найдём искомое отношение площадей:

$\frac{S_{OBD}}{S_{ABDC}} = \frac{66 \sin \alpha}{46 \sin \alpha} = \frac{66}{46} = \frac{33}{23}$.

Ответ: 33:23.

2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим точку пересечения медиан BP и CM как D. Тогда:

$BD = \frac{2}{3} BP = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$ см.

$CD = \frac{2}{3} CM = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ см.

Теперь мы можем найти площадь треугольника BDC, зная две его стороны (BD и CD) и угол между ними ($\angle BDC = 45^\circ$):

$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CD \cdot \sin(\angle BDC) = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 10 \cdot \sin(45^\circ)$.

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2}$ см².

Известно, что медианы делят треугольник на 6 малых треугольников равной площади. Также известно, что три треугольника, образованные соединением центроида с вершинами, равновелики, то есть имеют одинаковую площадь ($S_{ADB} = S_{BDC} = S_{CDA}$).

Следовательно, площадь всего треугольника ABC в три раза больше площади треугольника BDC:

$S_{ABC} = 3 \cdot S_{BDC} = 3 \cdot 10\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$ см².

Ответ: $30\sqrt{2}$ см².

3. Пусть дана трапеция с основаниями $a = 11$ см и $b = 6$ см, и диагоналями $d_1 = 10$ см и $d_2 = 9$ см. Для нахождения площади применим метод построения вспомогательного треугольника.

Пусть в трапеции ABCD основания $AD=11$ и $BC=6$, диагонали $AC=10$ и $BD=9$. Проведём через вершину C прямую, параллельную диагонали BD, до пересечения с продолжением основания AD в точке E.

В полученном четырёхугольнике BCED противоположные стороны параллельны ($BC \parallel DE$ и $CE \parallel BD$), значит, BCED — параллелограмм. Отсюда следует, что $DE = BC = 6$ см и $CE = BD = 9$ см.

Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE. Это можно показать так: $S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ACD}$, а $S_{ACE} = S_{ABC} + S_{BCE}$. Треугольники ACD и BCE имеют равные площади, так как их основания ($AD$ и $BE$) равны ($DE=BC=6$) и у них общая высота (высота трапеции). Таким образом, $S_{ABCD} = S_{ACE}$.

Теперь найдём площадь треугольника ACE. Мы знаем длины всех его сторон:

• $AC = 10$ см
• $CE = 9$ см
• $AE = AD + DE = 11 + 6 = 17$ см

Используем формулу Герона для вычисления площади треугольника: $S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, где $s$ — полупериметр.

Полупериметр $s = \frac{10 + 9 + 17}{2} = \frac{36}{2} = 18$ см.

Площадь треугольника ACE:

$S_{ACE} = \sqrt{18(18-10)(18-9)(18-17)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 1} = \sqrt{1296} = 36$ см².

Так как $S_{ABCD} = S_{ACE}$, площадь трапеции равна 36 см².

Ответ: 36 см².