Номер 6, страница 16 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 6

Правильные многоугольники

и их свойства

1. Отрезки $AB$, $BC$ и $CD$ — три последовательные стороны правильного многоугольника. Продолжения сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, $\angle BKC = 160^\circ$. Найдите количество сторон многоугольника.

2. В окружность радиуса 12 см вписан квадрат. В этот квадрат вписана окружность, а в окружность — правильный шестиугольник. Найдите сторону шестиугольника.

3. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7A_8$, равен 8 см. Найдите диагонали $A_1A_3$, $A_1A_4$ и $A_1A_5$.

1. Пусть $n$ — количество сторон правильного многоугольника. Углы $\angle KBC$ и $\angle KCB$ в треугольнике $KBC$ являются внешними углами данного правильного многоугольника. Все внешние углы правильного многоугольника равны. Обозначим величину внешнего угла как $\beta$. Сумма углов треугольника $KBC$ равна $180^\circ$.
$\angle KBC + \angle KCB + \angle BKC = 180^\circ$
Поскольку $\angle KBC = \angle KCB = \beta$ и по условию $\angle BKC = 160^\circ$, получаем:
$\beta + \beta + 160^\circ = 180^\circ$
$2\beta = 180^\circ - 160^\circ$
$2\beta = 20^\circ$
$\beta = 10^\circ$
Величина внешнего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле $\beta = \frac{360^\circ}{n}$.
Подставим найденное значение $\beta$:
$10^\circ = \frac{360^\circ}{n}$
$n = \frac{360}{10} = 36$
Следовательно, у многоугольника 36 сторон.
Ответ: 36.

2. 1. Найдем сторону квадрата, вписанного в окружность с радиусом $R = 12$ см. Сторона квадрата $a_4$ связана с радиусом описанной окружности формулой $a_4 = R\sqrt{2}$.
$a_4 = 12\sqrt{2}$ см.
2. В этот квадрат вписана окружность. Ее радиус $r$ равен половине стороны квадрата.
$r = \frac{a_4}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$ см.
3. В эту вторую окружность вписан правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника $a_6$ равна радиусу описанной около него окружности.
$a_6 = r = 6\sqrt{2}$ см.
Ответ: $6\sqrt{2}$ см.

3. Радиус окружности, описанной около правильного восьмиугольника $A_1A_2...A_8$, равен $R = 8$ см. Вершины восьмиугольника делят окружность на 8 равных дуг. Центральный угол, соответствующий каждой стороне, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.
Длину диагонали (хорды) можно найти по формуле $d = 2R \sin(\frac{\alpha}{2})$, где $\alpha$ — соответствующий центральный угол.

Диагональ $A_1A_3$:
Эта диагональ соединяет вершины через одну. Центральный угол $\angle A_1OA_3$ опирается на дугу $A_1A_2A_3$, которая состоит из двух частей, поэтому $\angle A_1OA_3 = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.
Рассмотрим равнобедренный треугольник $A_1OA_3$ с боковыми сторонами $OA_1 = OA_3 = R = 8$ см и углом между ними $90^\circ$. По теореме Пифагора:
$A_1A_3 = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см.

Диагональ $A_1A_4$:
Эта диагональ соединяет вершины через две. Центральный угол $\angle A_1OA_4$ опирается на дугу $A_1A_2A_3A_4$, состоящую из трех частей, поэтому $\angle A_1OA_4 = 3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.
Найдем длину хорды $A_1A_4$ по теореме косинусов для треугольника $A_1OA_4$:
$A_1A_4^2 = OA_1^2 + OA_4^2 - 2 \cdot OA_1 \cdot OA_4 \cdot \cos(135^\circ)$
$A_1A_4^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(135^\circ) = 2R^2(1 - \cos(135^\circ))$
Так как $\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$A_1A_4^2 = 2 \cdot 8^2 \cdot (1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = 128(1 + \frac{\sqrt{2}}{2}) = 128 + 64\sqrt{2} = 64(2+\sqrt{2})$
$A_1A_4 = \sqrt{64(2+\sqrt{2})} = 8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см.

Диагональ $A_1A_5$:
Эта диагональ соединяет противоположные вершины. Центральный угол $\angle A_1OA_5$ равен $4 \cdot 45^\circ = 180^\circ$. Это означает, что диагональ $A_1A_5$ является диаметром окружности.
$A_1A_5 = 2R = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: $A_1A_3 = 8\sqrt{2}$ см, $A_1A_4 = 8\sqrt{2+\sqrt{2}}$ см, $A_1A_5 = 16$ см.