Номер 11, страница 18 - гдз по геометрии 9 класс самостоятельные и контрольные работы Мерзляк, Полонский

Самостоятельная работа № 11

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Уравнение прямой, проходящей

через две данные точки

1. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку K (2; −3) и:

1) параллельна прямой $y = -3x + 1$;

2) образует с положительным направлением оси абсцисс угол $135^\circ$.

2. Найдите расстояние от точки A (−2; 2) до прямой $5x + 12y = -6$.

3. Составьте уравнение окружности, которая проходит через точки A (−2; 0) и B (0; 6) и центр которой принадлежит прямой $2x - 3y = -2$.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент прямой $y = -3x + 1$ равен $-3$. Следовательно, для искомой прямой $k = -3$, и ее уравнение принимает вид $y = -3x + b$.
Поскольку прямая проходит через точку $K(2; -3)$, ее координаты должны удовлетворять уравнению. Подставим значения $x = 2$ и $y = -3$:
$-3 = -3 \cdot 2 + b$
$-3 = -6 + b$
$b = 3$
Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -3x + 3$.
Ответ: $y = -3x + 3$.

2) Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который прямая образует с положительным направлением оси абсцисс, то есть $k = \tan \alpha$.
По условию, $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент:
$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.
Уравнение прямой принимает вид $y = -x + b$. Подставим координаты точки $K(2; -3)$, через которую проходит прямая:
$-3 = -1 \cdot 2 + b$
$-3 = -2 + b$
$b = -1$
Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -x - 1$.
Ответ: $y = -x - 1$.

2. Расстояние $d$ от точки $A(x_0; y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
Сначала приведем уравнение прямой $5x + 12y = -6$ к общему виду: $5x + 12y + 6 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты $A = 5$, $B = 12$, $C = 6$. Координаты точки $A(-2; 2)$, то есть $x_0 = -2$, $y_0 = 2$.
Подставим эти значения в формулу расстояния:
$d = \frac{|5 \cdot (-2) + 12 \cdot 2 + 6|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|-10 + 24 + 6|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{|20|}{\sqrt{169}} = \frac{20}{13}$.
Ответ: $\frac{20}{13}$.

3. Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2$, где $(x_c; y_c)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.
Пусть центр окружности — точка $C(x_c; y_c)$. Поскольку окружность проходит через точки $A(-2; 0)$ и $B(0; 6)$, расстояния от центра до этих точек равны радиусу: $CA = CB = R$, а значит $CA^2 = CB^2$.
$CA^2 = (x_c - (-2))^2 + (y_c - 0)^2 = (x_c + 2)^2 + y_c^2$
$CB^2 = (x_c - 0)^2 + (y_c - 6)^2 = x_c^2 + (y_c - 6)^2$
Приравняем эти два выражения:
$(x_c + 2)^2 + y_c^2 = x_c^2 + (y_c - 6)^2$
Раскроем скобки: $x_c^2 + 4x_c + 4 + y_c^2 = x_c^2 + y_c^2 - 12y_c + 36$
Упростим уравнение: $4x_c + 4 = -12y_c + 36 \implies 4x_c + 12y_c = 32 \implies x_c + 3y_c = 8$.
По условию, центр окружности принадлежит прямой $2x - 3y = -2$. Значит, координаты центра $(x_c; y_c)$ удовлетворяют и этому уравнению: $2x_c - 3y_c = -2$.
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений для нахождения координат центра:
$\begin{cases} x_c + 3y_c = 8 \\ 2x_c - 3y_c = -2 \end{cases}$
Сложив уравнения, получим: $3x_c = 6 \implies x_c = 2$.
Подставим $x_c = 2$ в первое уравнение: $2 + 3y_c = 8 \implies 3y_c = 6 \implies y_c = 2$.
Итак, центр окружности — точка $C(2; 2)$.
Найдем квадрат радиуса $R^2$, используя, например, точку $A(-2; 0)$:
$R^2 = CA^2 = (2 - (-2))^2 + (2 - 0)^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$.
Подставим координаты центра и значение квадрата радиуса в стандартное уравнение окружности:
$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 20$.
Ответ: $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 20$.